Đặt \(P=\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\) (BĐT B.C.S)

\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) \(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\)).

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Gọi chiều rộng là \(x\) ( \(x\) > 0)

Chiều dài của hình chữ nhật là: \(x\) + 20 

Diện tích của hình chữ nhật lúc đầu là:

(\(x\) + 20)\(x\) =  \(x^2\) + 20\(x\)

Chiều dài sau khi giảm là:  \(x\) + 20  - 10 = \(x\) + 10

Chiều rộng sau khi tăng là: \(x\) + 5 

Diện tích lúc hình chữ nhật lúc sau là:

( \(x\) + 5)(\(x\) + 10) = \(x^2\)+ 15\(x\) + 50 

Theo bài ra ta có: \(x^2\) + 20\(x\) - \(x^2\) - 15\(x\) - 50 = 125 

   5 \(x\) = 125 + 50 ⇒ 5\(x\) = 175 ⇒ \(x\) = 175 : 5= 35

Chiều dài là: 35 + 20 = 55

Diện tích hình chữ nhật là: 55 \(\times\) 35 = 1925 (m²)

Chu vi hình chữ nhật là: ( 55 + 35) \(\times\) 2 = 180(m²)

Kết luận: Diện tích hình chữ nhật là 1925 m²

               Chu vi hình chữ nhật là: 180 m 

Đây là dạng bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối em nhé:   

Kiến thức cần nhớ:  |F(\(x\))| ≤ a ( a > 0) ⇔ -a ≤ F(\(x\)) ≤ a

                        Giải:       

2|2\(x\) - 5| ≤  6 ⇔  |2\(x\) - 5| ≤ 6: 2 = 3

⇔  |2\(x\) - 5| ≤ 3  ⇔ -3 ≤ 2\(x\) - 5 ≤ 3  ⇔  -3 + 5 ≤ 2\(x\) ≤ 3 + 5

⇔ 2 ≤ 2\(x\) ≤ 8  ⇔ 1 ≤ \(x\) ≤ 4 vì  \(x\in\) Z nên \(x\) \(\in\) { 1; 2; 3; 4}

Quy đồng mẫu số (nhân cả 2 vế với abc) ta được:

a²c + b²a + c²b ≧  b²c+c²a+a²b

 a²c -abc + b²a - a²b  + c²b - b²c- c²a+abc ≧ 0

-ac(b-a) +ab(b-a) +cb(c-b) -ac(c-b) ≧ 0

-a(c-b)(b-a) +c(b-a)(c-b) ≧ 0

(c-b)(b-a)(c-a) ≧ 0 luôn đúng (vì 0≤a≤b≤c)

Vậy a/b +b/c + c/a ≧ b/a +c/b+a/c

Gọi độ dài quãng đường `AB` là : `x(x>0;km)`

Thời gian xe máy đi từ `A` đến `B` là : `x/45 (h)`

Thời  gian xe máy đi từ `B` về `A` là : `x/30 (h)`

Tổng thời gian khi không tính lúc người đó làm việc là :

`6h30p-30p=6(h)`

Theo bài ra ta có pt :

`x/30-x/45=6`

`<=>(3x)/90-(2x)/90=(6.90)/90`

`<=> 3x-2x=540`

`<=>x=540`

vậy độ dài quãng đường `AB` là `540km`

Đổi 6h30p = \(\dfrac{11}{2}\)h

Gọi quãng đường AB là x ( x > 0 , km )

Thời gian xe máy đi từ A đến B là: \(\dfrac{x}{45}\) h

Thời gian xe máy đi từ B về A là: \(\dfrac{x}{30}\) h

Theo bài ra, ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{30}-\dfrac{x}{45}=\dfrac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x}{90}-\dfrac{2x}{90}=\dfrac{495}{90}\)

\(\Leftrightarrow3x-2x=495\)

\(\Leftrightarrow x=495\)

Vậy quãng đường AB là 495 km