a) Xét hai tam giác vuông: ∆AHC và ∆MHC có:

HC là cạnh ccung

AH = MH (gt)

⇒ ∆AHC = ∆MHC (hai cạnh góc vuông)

b) Do ∆AHC = ∆MHC (cmt)

⇒ ∠ACH = ∠MCH (hai góc tương ứng)

AC = MC (hai cạnh tương ứng)

Do ∠ACH = ∠MCH (cmt)

⇒ ∠ACB = ∠MCB

Xét ∆ABC và ∆MBC có:

AC = MC (cmt)

∠ACB = ∠MCB (cmt)

BC là cạnh chung

⇒ ∆ABC = ∆MBC (c-g-c)

a) Do AI là tia phân giác của BAC (gt)

⇒ ∠BAI = ∠CAI

⇒ ∠BAI = ∠DAI

Xét ∆BAI và ∆DAI có:

AB = AD (gt)

∠BAI = ∠DAI (cmt)

AI là cạnh chung

⇒ ∆BAI = ∆DAI (c-g-c)

⇒ BI = ID (hai cạnh tương ứng)

b) Do ∆BAI = ∆DAI (cmt)

⇒ ∠ABI = ∠ADI (hai góc tương ứng)

Mà ∠ABI + ∠EBI = 180⁰ (kề bù)

∠ADI + ∠CDI = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠EBI = ∠CDI

Xét ∆IBE và ∆IDC có:

∠EBI = ∠CDI (cmt)

BI = ID (cmt)

∠BIE = ∠DIC (đối đỉnh)

⇒ ∆IBE = ∆IDC (g-c-g)

c) Do ∆IBE = ∆IDC (cmt)

⇒ BE = DC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AD (gt)

⇒ AE = AB + BE = AD + DC = AC

∆AEC có:

AE = AC (cmt)

⇒ ∆AEC cân tại A

⇒ ∠AEC = (180⁰ - ∠EAC) : 2    (1)

∆ABD có:

AB = AD (gt)

⇒ ∆ABD cân tại A

⇒ ∠ABD = (180⁰ - ∠BAD) : 2 = (180⁰ - ∠EAC) : 2   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠AEC = ∠ABD

Mà ∠AEC và ∠ABD là hai góc đồng vị

⇒ BD // EC

Lời giải:
Đặt $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=t$

Áp dụng TCDTSBN:

$t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}$

$\Rightarrow t^n=\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n(*)$

Lại có:

$\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}....\frac{a_n}{a_{n+1}}=t.t.t....t$

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_{n+1}}=t^n(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}$ (đpcm)

Lời giải:

Số học sinh khá giỏi chiếm số phần trăm số hs cả lớp là:

$100-50=50$ (%)

Tổng số học sinh khá giỏi là: $10+15=25$ (hs)

Số học sinh cả lớp là: $25:50\times 100=50$ (hs) 

Số học sinh trung bình: $50\times 50:100=25$ (hs)

a;Số học sinh giỏi và khá so với số học sinh cả lớp chiếm số phần trăm là:    

                   100% - 50% = 50%

 50% ứng với số học sinh là:   10 + 15 = 25 (học sinh)

 Số học sinh cả lớp là:    25 : 50 x 100 = 50 (học sinh)

Số học sinh trung bình là: 50 - 25 = 25 (học sinh)

Số học sinh khá chiếm số phần trăm là: 15 : 50 x 100% = 30%

Số học sinh giỏi chiếm số phần trăm là: 100% - 50% - 30% = 20%

b, Ta có biểu đồ hình quạt tròn dưới đây

\(-\dfrac{6}{x}=\dfrac{9}{-15}\)

\(\Rightarrow9x=\left(-6\right).\left(-15\right)\)

\(\Rightarrow9x=90\)

\(\Rightarrow x=90:9\)

\(\Rightarrow x=10\)