Gọi x (học sinh) là số học sinh cần tìm (x ∈ ℕ*, 15 ≤ x ≤ 1000)

Do khi xếp hàng 20; 25; 30 người đều thừa 15 người nên x - 15 là BC(20; 25; 30)

Lại có khi xếp hàng 41 người thì vừa đủ nên x ⋮ 41

Ta có:

20 = 2².5

25 = 5²

30 = 2.3.5

⇒ BCNN(20; 25; 30) = 2².3.5² = 300

⇒ x - 15 ∈ BC(20; 25; 30) = B(300) = {300; 600; 900; ...}

⇒ x ∈ {315; 615; 915; ...}

Mà x ⋮ 41 và x ≤ 1000

⇒ x = 615

Vậy số học sinh cần tìm là 615 học sinh

Đây là toán nâng cao chuyên đề tìm hai chữ số tận cùng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp, hôm nay Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

A = 7²⁰⁰⁷

A = (7⁴)⁵⁰¹.7³

A = (\(\overline{..01}\))⁵⁰¹.343

A = \(\overline{..01}\).343

A = \(\overline{..43}\)

Vậy 7²⁰⁰⁷ có 3 chữ số tận cùng là 43

Diện tích tăng thêm ở một phía:

160 : 4 = 40 (m²)

Độ dài cạnh cái ao ban đầu:

40 : 4 = 10 (m)

Diện tích cái ao ban đầu:

10 × 10 = 100 (m²)

a/ Đặt vế trái là A ta có

\(A< \dfrac{2013}{2013+2013}+\dfrac{2014}{2014+2014}+\dfrac{2015}{2015+2015}+\dfrac{2016}{2016+2016}=\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\)

b/

b/

\(2015^{2016}+2015^{2015}=2015^{2015}\left(2015+1\right)=2016.2015^{2015}\)

\(2016^{2016}=2016.2016^{2015}\)

Ta thấy \(2015^{2015}< 2016^{2015}\Rightarrow2016.2015^{2015}< 2016.2016^{2015}\)

\(\Rightarrow2015^{2016}+2015^{2015}< 2016^{2016}\)

Ta có: 5/2² < 5/1.2

          5/3² < 5/2.3

              ....

           5/100² < 5/99.100

⇒ S < 5/1.2 + 5/2.3 + 5/3.4+....+ 5/99.100

    S< 5. (1/1.2+ 1/2.3+ ... + 1/99.100)

    S< 5. (1 - 1/2 + 1/2 -1/3 + ...+1/99 - 1/100)

    S< 5. (1-1/100)

    S< 5.99/100

    S< 4.95< 5

⇒S< 5

Vậy S<5

(x+5)(3x-12)<0

=>3(x-4)(x+5)<0

=>(x-4)(x+5)<0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-4>0\\x+5< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>4\\x< -5\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\varnothing\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-4< 0\\x+5>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 4\\x>-5\end{matrix}\right.\)

=>-5<x<4

=>\(x\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}\)

 (x+5)(3x-12)<0

⇒ (x+5) và (3x-12) là hai số khác dấu

Mà x+5>3x-12

⇒ x+5>0

    3x-12<0

⇒ x > -5

    x < 4

⇒ -5 < x < 4

⇒ x ϵ {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH1: p=3k+1

\(p+2=3k+1+2=3k+3=3\left(k+1\right)⋮3\)

=>LOại

Do đó: p=3k+2

\(p+\left(p+2\right)=3k+2+3k+4=6k+6=6\left(k+1\right)\) chia hết cho 6

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=2a+1

\(p+\left(p+2\right)=2a+1+2a+3=4a+4=4\left(a+1\right)⋮4\)

Do đó: p+(p+2) chia hết cho BCNN(4;6)

=>p+(p+2) chia hết cho 12

=12:12\(^{13}\)=12\(^{-12}\)

30