\(1-\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\left(ĐK:x>=0;x\ne4\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-2-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

a) SB là tiếp tuyến tại B nhé bạn.

Xét (O) có dây AB không đi qua tâm O và OS đi qua trung điểm I của dây AB nên \(OS\perp AB\) tại I. Điều này có nghĩa là SI là đường cao của tam giác SAB.

Mà SI cũng là trung tuyến của AB (do I là trung điểm AB) nên Tam giác SAB cân tại S hay \(SA=SB\)

Đồng thời trung tuyến SI cũng chính là đường phân giác của tam giác SAB hay \(\widehat{ASI}=\widehat{BSI}\) hay \(\widehat{ASO}=\widehat{BSO}\)

Xét tam giác ASO và tam giác SBO, ta có 

\(SA=SB\left(cmt\right);\widehat{ASO}=\widehat{BSO}\left(cmt\right)\) và OS chung

\(\Rightarrow\Delta ASO=\Delta BSO\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{SAO}=\widehat{SBO}\)

Mà \(\widehat{SAO}=90^o\) nên \(\widehat{SBO}=90^o\). Lại có \(B\in\left(O\right)\) nên SB là tiếp tuyến tại B của (O) (đpcm)

b) Bạn bổ sung thêm giả thiết nhé.

\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}< 0\) ( Đk : x\(\ge0\), x khác 4 )

Ta có : 

\(\sqrt{x}\ge0;2>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)

\(\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp các điều kiện : x < 4 , x khác 4 ; x \(\ge0\)

\(\Rightarrow0\le x< 4\)

a) Đặt \(P=\dfrac{3+4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}\) 

\(P=\dfrac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}\)

Mà \(H=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\)

\(H=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2\)

\(H=8+4\sqrt{3}-5\)

\(H=3+4\sqrt{3}\)

Do đó \(P=\dfrac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3+4\sqrt{3}}\)

\(P=\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

b) Đặt \(U=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}}\)

Ta có \(O=2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+10\) 

\(O=\left(2+\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}\left(2+\sqrt{5}\right)\)

\(O=\left(2+\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)\)

Vậy \(U=\dfrac{1}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}\)

\(U=\dfrac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left[\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)\right]\left[\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\right]}\)

\(U=\dfrac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}-\sqrt{5}+2}{N}\)

Với \(N=\left[\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)\right]\left[\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\right]\)

\(N=\left[\left(\sqrt{5}\right)^2-2^2\right]\left[\left(\sqrt{2}\right)^2-1\right]\)

\(N=\left(5-4\right)\left(2-1\right)\)

\(N=1\)

Do đó \(U=\sqrt{10}-2\sqrt{2}-\sqrt{5}+2\)

Không rõ đề nên làm 2 trường hợp 

+) \(\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-2< 0\) ( x > 0 )

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}< 0\)

\(\Rightarrow x-2\sqrt{x}+2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}.1+1+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+1< 0\)( vô lí ) 

+) \(\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+2}{\sqrt{x}-2}< 0\) ( x khác 4 , x \(\ge\) 0)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\) ( do ở ý trên đã cm được tử > 0

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)

\(\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp các điều kiện

\(\Rightarrow0\le x< 4\)

a/

\(A=\dfrac{\left(a+\sqrt{ab}\right)\left(b-\sqrt{ab}\right)}{b^2-ab}=\dfrac{ab-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-ab}{b^2-ab}=\)

\(=\dfrac{\sqrt{ab}\left(b-a\right)}{b\left(b-a\right)}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)

b/

\(B=\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x-y\right)-\sqrt{y}\left(x-y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)

Điều kiện: \(x>0\)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số dương là x và 3 ta có:

\(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}\ge\dfrac{2\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(2\sqrt{3}\)

Giá trị này đạt tại \(x=3\)

Gọi \(x\left(km\right)\) là độ dài quãng đường AB \(\left(x>0\right)\)

Như vậy quãng đường từ điểm xuất phát đến điểm xe bị hỏng sẽ bằng \(\dfrac{1}{3}x\left(km\right)\)

Thời gian từ khi người đó xuất phát đến khi xe bị hỏng là \(\dfrac{\dfrac{1}{3}x}{12}=\dfrac{1}{36}x\left(h\right)\)

Quãng đường còn lại sẽ bằng \(\dfrac{2}{3}x\left(km\right)\)

Thời gian người đó đi ô tô từ điểm xe bị hỏng đến B là \(\dfrac{\dfrac{2}{3}x}{26}=\dfrac{1}{39}x\left(h\right)\)

Tổng thời gian người đó đã đi từ A đến B trong thực tế là \(\dfrac{1}{36}x+\dfrac{1}{39}x+\dfrac{1}{3}\left(h\right)\) (có số hạng \(\dfrac{1}{3}\) do người đó còn phải chờ \(20p=\dfrac{1}{3}h\) khi xe bị hỏng)

Theo dự định, thời gian người đó đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{12}\left(h\right)\)

Vì người đó đến B sớm hơn dự định \(1h20p=\dfrac{4}{3}h\) nên ta có pt \(\dfrac{x}{12}-\left(\dfrac{1}{36}x+\dfrac{1}{39}x+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\) 

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{39}\right)x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{234}x=\dfrac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{390}{7}\approx55,714\left(nhận\right)\)

Vậy độ dài quãng đường AB là khoảng \(55,714km\)