D A C B E M F y G 1 2 1 2

VẼ By là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)CẮT AC TẠI G

A) XÉT \(\Delta BAG\)VÀ \(\Delta BEG\)CÓ

\(\widehat{BAG}=\widehat{BEG}=90^o\)

BG LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)( LẬP LUẬN)

=>\(\Delta BAG\)=\(\Delta BEG\)( CH-GN)

=>BA = BE

\(\Rightarrow\Delta ABE\)CÂN TẠI B ( ĐPCM)

VÌ \(\Delta BAG\)=\(\Delta BEG\)(CMT)

=> AG = GE 

XÉT \(\Delta AGD\)VÀ \(\Delta EGC\)CÓ

\(\widehat{G_1}=\widehat{G_2}\)( ĐỐI ĐỈNH )

 AG = GE ( CMT )

\(\widehat{DAG}=\widehat{CEG}=90^o\)

=>\(\Delta AGD\)=\(\Delta EGC\)( G-C-G )

=> AD = EC 

TA CÓ

 \(BA+AD=BD\)

\(BE+EC=BC\)

MÀ AD = EC(CMT) VÀ \(BA=BE\)(CMT)

=>\(BD=BC\)

=> \(\Delta BDC\)CÂN TẠI B

XÉT \(\Delta BDC\)CÂN TẠI B

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\frac{180^o-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)

XÉT ​\(\Delta BAE\)​CÂN TẠI B 

​\(\Rightarrow\widehat{BEA}=\frac{180^o-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)​

TỪ (1) VÀ (2) 

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BEA}\)

 MÀ HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ ĐỒNG VỊ BẰNG NHAU

=>\(AE//CD\)(ĐPCM)

b) vì AE // CD HAY AF // CD \(\Rightarrow\widehat{FAC}=\widehat{DCA}\)( SO LE TROG )

XÉT \(\Delta FAM\)VÀ \(\Delta DCM\)CÓ \(\widehat{FAC}=\widehat{DCA}\)HAY\(\widehat{FAM}=\widehat{DCM};AM=CM\left(GT\right);\widehat{AMF}=\widehat{CMF}\left(DD\right)\) 

=>\(\Delta FAM\)=\(\Delta DCM\)(G-C-G) 

\(\Rightarrow FM=DM\)

XÉT\(\Delta ADM\)VÀ \(\Delta CFM\)CÓ   \(AM=CM\left(GT\right);\widehat{AMD}=\widehat{CMF}\left(GT\right);FM=DM\left(CMT\right)\)

=>\(\Delta ADM\)=\(\Delta CFM\)(C-G-C)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{FCM}=90^o\)

mà\(\widehat{FCM}=90^o\)

\(\Rightarrow CF\perp AC\left(ĐPCM\right)\)

Ta có M = x² - 4x - 2 

    = x² - 2x - 2x + 4 - 6

    = x(x - 2) - 2(x - 2) - 6

    = (x- 2)² - 6 \(\ge\)- 6

Dấu "=" xảy ra <=> (x - 2) = 0

=> x = 2

Answer:

\(M=x^2-4x-2\)

\(M=x^2-4x+4-6\)

\(M=\left(x-2\right)^2-6\)

Because \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

so \(\left(x-2\right)^2-6\ge-6\)

or \(M\ge-6\)

Equal sign occors \(\Leftrightarrow x-2=0\)

                              \(\Leftrightarrow x=2\)

The minimum of M is \(-6\)\(\Leftrightarrow x=2\)

A B C D H K

a, Xét tam giác AHK và tam giác BHC có

                AH = BH [ gt ]

                góc AHK = góc BHC [ đối đỉnh ]

              HK = HC [ gt ]

Do đó ; tam giác AHK =  tam giác BHC [ c.g.c ]

\(\Rightarrow\)AK = BC [ cạnh tương ứng ]

b, Theo câu a , tam giác AHK = tam giác BHC 

\(\Rightarrow\)góc AKH = góc BCH [ ở vị trí so le trong ]

Vậy AK // BC 

Chúc bạn học tốt

                                                  A B C H K 1 1 2

a) Xét \(\Delta KHA\)và \(\Delta CHB\)có :

                    \(AH=BH\left(gt\right)\)

                     \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)( đối đỉnh )

                   \(KH=HC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta KHA=\Delta CHB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AK=BC\)( 2 góc tương ứng )

b) Ta có : \(\Delta KHA=\Delta CHB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}\)( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc nằm ở vị trí SLT

\(\Rightarrow AK//BC\)

\(\frac{1}{2}2^x+4.2^x=9.2^5\)

\(\Leftrightarrow2^x\left(\frac{1}{2}+4\right)=9.2^5\)

\(\Leftrightarrow2^x\frac{9}{2}=9.2^5\)

\(\Leftrightarrow2^x\frac{9}{2}=288\)

\(\Leftrightarrow2^x=64\)

\(\Leftrightarrow2^x=2^6\)

\(\Rightarrow x=6\)

\(\frac{1}{2}.2^x+4.2^x=9.2^5\)

<=> \(2^x\left(\frac{1}{2}+4\right)=9.2^5\)

<=> \(2^x.\frac{9}{2}=9.2^5\)

<=> \(2^x=2^6\)

<=> x = 6

Bài làm:

c) \(-\frac{2}{5}+\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x\right)=-\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{2}{5}+\frac{5}{2}-\frac{4}{9}x=-\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{9}x=-\frac{2}{5}+\frac{5}{2}+\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{9}x=\frac{49}{15}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{49}{15}\div\frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow x=\frac{147}{20}\)

Vậy \(x=\frac{147}{20}\)

Bài 2:

a) Ta có: \(F=\frac{3x-2}{x+3}=\frac{\left(3x+9\right)-11}{x+3}=3-\frac{11}{x+3}\)

Để F nguyên \(\Rightarrow\frac{11}{x+3}\inℤ\Leftrightarrow x+3\inƯ\left(11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-14;-4;-2;8\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{-14;-4;-2;8\right\}\)thì F nguyên

2b) Tách

\(G=\frac{x^2-2x+4}{x+1}=\frac{x^2+x-3x-3+7}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)+7}{x+1}\)

\(=\frac{x\left(x+1\right)}{x+1}-\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{7}{x+1}=x-3+\frac{7}{x+1}\)

G là số nguyên <=> \(\frac{7}{x+1}\)là số nguyên <=> \(7⋮x+1\)<=> \(x+1\inƯ\left(7\right)=\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

<=> \(x\in\left\{0;-2;6;-8\right\}\)

a) \(1-\frac{61}{69}=\frac{69}{69}-\frac{61}{69}=\frac{8}{69}\)

\(1-\frac{85}{93}=\frac{93}{93}-\frac{85}{93}=\frac{8}{93}\)

\(\frac{8}{69}>\frac{8}{93}\Rightarrow1-\frac{8}{69}< 1-\frac{8}{93}\)

\(\Rightarrow\frac{61}{69}< \frac{85}{93}\)

b) \(1-\frac{11}{17}=\frac{17}{17}-\frac{11}{17}=\frac{6}{17}=\frac{60}{170}\)

\(1-\frac{113}{173}=\frac{173}{173}-\frac{113}{173}=\frac{60}{173}\)

\(\frac{60}{170}>\frac{60}{173}\Rightarrow1-\frac{60}{170}< 1-\frac{60}{173}\)

\(\Rightarrow\frac{11}{17}< \frac{113}{173}\)

A A A B B B C C C D D D E E E N N N O O O I I I H H H M M M

a) Xét \(\Delta_vMDB\) và \(\Delta_vNEC\) có :

BD = CE(đầu đề ghi BD = BE là sai rồi nhá)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(tam giác ABC cân tại A)

=> \(\Delta_vMDB=\Delta_vNEC\)(cgv - gn)

=> DM = EN(hai cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta_vMDI\) và \(\Delta_vNEI\)có :

DM = EN(theo câu a)

\(\widehat{MDI}=\widehat{NEI}\)(đối đỉnh)

=> \(\Delta_vMDI=\Delta_vNEI\left(cgv-gn\right)\)

=> IM = IN(hai cạnh tương ứng)

=> BC cắt MN tại I

=> I là tđ của MN

c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

Xét \(\Delta_vAHB\) và \(\Delta_vAHC\)có :

AB = AC(tam giác ABC cân tại A)

AH chung

=> \(\Delta_vAHB=\Delta_vAHC\left(ch-cgv\right)\)

=> \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\)

Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I 

Xét tam giác OAB và tam giác OAC có :

OA chung

AB = AC(tam giác ABC cân tại A)

góc B = góc C(tam giác ABC cân tại A)

=> tam giác OAB = tam giác OAC(c.g.c)

=> góc OBC = góc OCA (1)

Xét tam giác vuông OIM và tam giác vuông OIN có :

OI chung

IM = IN(theo câu b)

=> tam giác vuông OIM = tam giác vuông OIN(hai cạnh góc vuông)

=> OM = ON(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có :

OM = ON(cmt)

OB = OC(tam giác OAB = tam giác OAC)

BM = CN(tam giác MDB = tam giác NEC)

=> tam giác OBM = tam giác OCN(c.c.c)

=> góc OBM = góc OCM  (2)

Từ (1) và (2) => góc OCA = góc OCN = 90 độ , do đó \(OC\perp AC\)

Vậy điểm O cố định

Câu a, DM = EN chứ k phải DM = ED

AB=AC mà

\(M=\frac{x^2-5}{x^2-2}=\frac{x^2-2-3}{x^2-2}=1-\frac{3}{x^2-2}\)

Để M nguyên => \(\frac{3}{x^2-2}\)nguyên

=> \(3⋮x^2-2\)

=> \(x^2-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Vì x thuộc Z => x = \(\pm1\)

Bài làm:

\(M=\frac{x^2-5}{x^2-2}=1-\frac{3}{x^2-2}\)

Để M là số nguyên => \(\frac{3}{x^2-2}\inℤ\Rightarrow x^2-2\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{-1;1;3;5\right\}\Rightarrow x\in\left\{-1;1\right\}\)

Vậy x = 1 hoặc x = -1 thì M nguyên