Xét pt (1) có \(\Delta'_1=a^2-bc\)

Xét pt (2) có \(\Delta'_2=b^2-ac\)

Xét pt (3) có \(\Delta'_3=c^2-ab\)

Có \(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(\Rightarrow2\left(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)

                                           \(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'\ge0\)

Nên tồn tại ít nhất một trong 3 delta phải lớn hơn hoặc bằng 0

=> Tồn tại ít nhất một trong 3 pt đã cho có nghiệm

Vậy ...........

\(ĐKXĐ:x;y\ge\frac{1}{2}\)

Chia cả 2 vế của pt cho x ; y ta được

\(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}=2\)

Dễ dàng c/m được \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y-1}\le y\\\sqrt{2x-1}\le x\end{cases}\Rightarrow VT\le1+1=2}\)

Dấu "=" xảy ra <=>. x= y = 1

Vậy x = y = 1

Rất easy! Dùng Cô si ngược đê!

ĐKXĐ: \(x,y\ge\frac{1}{2}\)

Theo Cô si (ngược),ta có:

\(VT=x\sqrt{1\left(2y-1\right)}+y\sqrt{1\left(2x-1\right)}\)

\(VT\le x.\frac{2y-1+1}{2}+y.\frac{2x-1+1}{2}\)

\(=xy+yx=2xy=VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x-1=2y-1=1\Leftrightarrow2x=2y=2\Leftrightarrow x=y=1\)

Cách khác nhé!
Cộng từng vế của các pt trên lại ta được

\(3\left(x_1+x_2+x_3+...+x_{10}\right)=30\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_4+x_5+x_6\right)+\left(x_7+x_8+x_9\right)+x_{10}=10\)

\(\Leftrightarrow3+3+3+x_{10}=10\)

\(\Leftrightarrow x_{10}=1\)

Viết lại pt (*) ta được

\(\left(x_{10}+x_1+x_2\right)+\left(x_3+x_4+x_5\right)+\left(x_6+x_7+x_8\right)+x_9=10\)

\(\Leftrightarrow3+3+3+x_9=10\)

\(\Leftrightarrow x_9=1\)

Chứng minh tương tự cuối cùng được \(x_1=x_2=x_3=...=x_{10}=1\)

Vậy .............

Ta có:x1+x2+x3=x2+x3+x4=3

\(\Rightarrow\)x4-x1=0\(\Leftrightarrow\)x1=x4

cmtt ta có x1=x2=x3=...=x10

\(\Rightarrow\)x1=x2=x3=...=x10=1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số được

\(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(Đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Cách thông dụng nè:

Theo BĐT Cô si cho 3 số:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2)

Nhân theo vế (1) và (2),ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)

Chia cả hai vế của BĐT cho a + b + c,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)

- A.R.M.Y nek :3

Nhon. A. R. M. Y nae

yeahhhhhhhhhh

Vn 1-0 Iran

VN vô địch

Sửa đề \(\hept{\begin{cases}3xy=2\left(x+y\right)\\5yz=6\left(y+z\right)\\4xz=2\left(x+z\right)\end{cases}}\)

Dễ thấy x = y = z = 0 ko phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của 3 pt lần lượt cho xy ; yz ; xz ta được

\(\hept{\begin{cases}3=\frac{2}{y}+\frac{2}{x}\\5=\frac{6}{z}+\frac{6}{y}\\4=\frac{2}{z}+\frac{2}{x}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=2\end{cases}}\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

Ta thu được hệ

\(\hept{\begin{cases}a+b=\frac{3}{2}\\b+c=\frac{5}{6}\\c+a=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=\frac{13}{6}\\b+c=\frac{5}{6}\\c+a=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=\frac{13}{6}\\a=\frac{4}{3}\\b=\frac{1}{6}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{4}{3}\\b=\frac{1}{6}\\c=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\y=6\\z=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{35}{49}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow a=5k;b=7k\Rightarrow a+b=12k\)

\(\frac{c}{d}=\frac{130}{143}=\frac{10}{11}\Rightarrow c=10f;d=11f\)\(\Rightarrow c+d=21f\)

\(\frac{e}{g}=\frac{7}{13}\)\(\Rightarrow e=7n;g=13n\Rightarrow e+g=20n\)

gọi số tự nhiên lớn nhất đó là x 

\(\Rightarrow x=12k=21f=20n\)

\(\Rightarrow x\in BCNN\left(12,21,20\right)=420\)

\(\Rightarrow x=420t\left(t\in N\right)\)

vì x là số có 3 chữ số lớn nhất nên với t = 2 ,ta được x = 840

vậy ...

đề là \(\frac{a}{b}=\frac{35}{49}\) nhỉ ?