\(\hept{\begin{cases}x^2+2y-4x=0\\4x^2-4xy^2+y^4-2y+4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=4-2y\\\left(2x-y^2\right)^2=2y-4\end{cases}}\Rightarrow\left(x-2\right)^2=-\left(2x-y^2\right)^2=0\Rightarrow x-2=2x-y^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2,y=2\\x=2,y=-2\end{cases}}\)

b,

\(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=9\left(x+y\right)\\x^2-y^2=3\end{cases}\Rightarrow}x^3-y^3=3.\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3\left(x-y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-3x^2-6xy-3y^2\right)=0\Rightarrow\left(x-y\right)\left(2x^2+5xy+2y^2\right)=0\)

Tự xử đoạn còn lại nhé

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)

Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)

Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)

Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)

\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)

Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)

Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:

\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)

Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ  giùm

Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc  Bunhia nên phải tách nó ra

Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)

                                                                     \(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)

                                                                       \(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)

                                                                        \(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))

 Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)

               \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)

Cộng từng vế của các bđt trên lại được

\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)

                                                                   \(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)

Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được

\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)

Quay trở lại với A

\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy .............

ĐK: x>=6/5

pt => \(\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-6}=2\sqrt{2x-3}-\sqrt{x+7}\)

Bình phương  2 vế:

\(4x+1+5x-6-2\sqrt{\left(4x+1\right)\left(5x-6\right)}=4\left(2x-3\right)+x+7-4\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x+7\right)}\)

<=> \(\sqrt{\left(4x+1\right)\left(5x-6\right)}=2\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x+7\right)}\)

Bình phương 2 vế. Em tự làm tiếp nhé vì đây là phương trình hệ quả không phải tương đương nên có kết quả em thử vào phuowng trình ban đầu thỏa mãn mới là nghiệm!. 

Đk \(x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-3\)

Đặt \(\sqrt{\frac{x+3}{2}}=t+1\left(t\ge-1\right)\Leftrightarrow x+3=2\left(t+1\right)^2\Leftrightarrow2t^2+4t=x+1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}2x^2+4x=t+1\\2t^2+4t=x+1\end{cases}}\)

Hệ phương trình  đối xứng loại 2 :). Em làm tiếp nhé:)

bài mẫu nè:

gọi số dãy ghế là x, số ghê là y 
theo đb ta có hpt 
(x-2)(y+2)=288 
xy=288 
giải pt tìm đk x=18; y=16 

sai r bạn ak phải ra là 2 TH là 12(tm) và -16( k tm)

dạng này thường biến đổi 1 ẩn theo ẩn còn lại bạn rút x theo y hay y theo x cx đk, sau đó biến đổi 2 ẩn x,y theo a rồi xem điều kiện của x,y là ta tìm đc đk của a

Làm ra luôn nha.

Ta có:\(\hept{\begin{cases}a\ne0\\a\ne2\end{cases}}\) Hệ có nghiệm: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a^2+4a+5}{a+2}\\y=\frac{a^3+5a^2+4a-5}{a\left(a+2\right)}\end{cases}}\)

Theo đề: Tìm \(a\in Z\) để \(x\in Z\)

\(x=a+2+\frac{1}{a+2}\)

\(a=-1\Rightarrow\) Nghiệm hệ là: \(\left(2;5\right)\)

để đề nt là sai,phải kết hợp lại:

\(\hept{\begin{cases}a+x=b\\a-x=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+x+a-x=b+b\)

\(\Rightarrow2a=2b\)

\(\Rightarrow a=b\)

đến đây bí

gì cũng được

ĐKXĐ: \(x;y\ge\frac{1}{2}\)

Vì x,y khác 0 nên cùng chia 2 vế của pt bđ cho xy ta được

\(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}=2\)

Ta có: \(\sqrt{2y-1}\le y\)(1)( \(y\ge\frac{1}{2}\))

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow2y-1\le y^2\)

                        \(\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Nên (1) đúng \(\Rightarrow\frac{\sqrt{2y-1}}{y}\le1\)

Tương tự \(\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1\)

Do đó \(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1+1=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1 (T/M)

Vậy x = y = 1

Incur: Góp thêm một cách c/m: \(\sqrt{2y-1}\le y\) là dùng cô si ngược nhé