vì khi \(a=1\Rightarrow a^4+4a=1^5+4.1=5\) (là số nguyên tố)

\(\Rightarrow m\ne5\Rightarrow a^4+4a\ne5\Rightarrow a\left(a^3+4\right)\ne5\Rightarrow a\ne1\left(a\in Z\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}a^4⋮n\left(a\ne1\Rightarrow n\ne1;n\in Z\right)\\4a⋮4\&a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+4a\) không là số nguyên tố

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức GTNNH=(x-2)(x+1)(x-2)(x+5), ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số.

Đầu tiên, ta tính toán đạo hàm của hàm số GTNNH theo biến x:
GTNNH' = (x+1)(x-2)(x+5) + (x-2)(x+1)(x+5) + (x-2)(x+1)(x-2)

Tiếp theo, ta giải phương trình GTNNH' = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số:
(x+1)(x-2)(x+5) + (x-2)(x+1)(x+5) + (x-2)(x+1)(x-2) = 0

Sau khi giải phương trình trên, ta thu được các giá trị của x là -5, -1 và 2.

Tiếp theo, ta tính giá trị của GTNNH tại các điểm cực trị và so sánh để tìm giá trị nhỏ nhất:
GTNNH(-5) = (-5-2)(-5+1)(-5-2)(-5+5) = 0
GTNNH(-1) = (-1-2)(-1+1)(-1-2)(-1+5) = 0
GTNNH(2) = (2-2)(2+1)(2-2)(2+5) = 0

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức GTNNH=(x-2)(x+1)(x-2)(x+5) là 0.

\(\left(xy\sqrt{6}\right)^2-\left(x^2+4y^2-1\right)^2=\left(xy\sqrt{6}+x^2+4y^2-1\right)\left(xy\sqrt{6}-x^2-4y^2+1\right)\)

Bài này ko thể giải được thành 4 nhân tử.

Số p4 có 5 ước số tự nhiên là 1 , p, p2 , p3 , p4
Ta có : 1 + p + p2 + p3 + p4 = n2     (n ∈ N)
Suy ra : 4n2 = 4p4 + 4p3 + 4p2 + 4p + 4 > 4p4 + 4p3 + p2 = (2p2 + p)2
Và  4n2 < 4p4 + p2 + 4 + 4p3 + 8p2 + 4p = (2p2 + p + 2)2.
Vậy : (2p2 + p)2 < (2n)2  < (2p2 + p + 2)2.
Suy ra :(2n)2 = (2p2 + p + 2)2 = 4p4 + 4p3 +5p2 + 2p + 1

vậy 4p4  + 4p3 +5p2 + 2p + 1 = 4p4 + 4p3 +4p2 +4p + 4   (vì cùng bằng 4n2 )

=> p2 - 2p - 3 = 0  => (p + 1) (p - 3) = 0

do p > 1  => p - 3 = 0   => p = 3

THeo đề bài ta có

\(n+18=p^2\)

\(n-41=q^2\)

\(\Rightarrow p>q\)

\(\Rightarrow n+18-\left(n-41\right)=59=p^2-q^2\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p+q\right)=59=1.59\)

TH1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p-q=1\\p+q=59\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=30\\q=29\end{matrix}\right.\)

Thay p=30 vào \(n+18=p^2\)

\(\Rightarrow n+18=900\Rightarrow n=900-18=882\)

TH2

\(\left\{{}\begin{matrix}p-q=59\\p+q=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=30\\q=-29\end{matrix}\right.\)

Giống TH1 có n=882

Gọi d là ước của 9n+2 và 12n+3 nên

\(9n+2⋮d\Rightarrow4\left(9n+2\right)=36n+8⋮d\)

\(12n+3⋮d\Rightarrow3\left(12n+3\right)=36n+9⋮d\)

\(\Rightarrow36n+9-\left(36n+9\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 9n+2 và 12n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯC(9n + 2; 12n + 3)

⇒ 9n + 2 ⋮ d ⇒ 36n + 8 ⋮ d

12n + 3 ⋮ d ⇒ 36n + 9 ⋮ d

⇒ (36n + 9) - (36n - 8) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy 9n + 2 và 12n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau