E M O N H

a/

Ta có

\(\widehat{EMO}=\widehat{ENO}\) => EMON là tứ giác nội tiếp

=> E; M; O; N cùng nằm trên 1 đường tròn có tâm là trung điểm của EO và bán kính là EO/2

b/

Xét tg vuông EMO và tg vuông ENO có

EM=EN (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau) 

EO chung

=> tg EMO = tg ENO (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau)

=> \(\widehat{MEO}=\widehat{NEO}\)

Xét tg EMN có

EM=EN (cmt) => tg EMN cân tại E

\(\widehat{MEO}=\widehat{NEO}\) (cmt) => OE là phân giác của  \(\widehat{MEN}\)

=> \(OE\perp MN\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

a, Xét tứ giác EMON có ^EMO + ^ENO = 180⁰

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác EMON nt 1 đường tròn hay E;M;O;N thuộc 1 đường tròn 

bán kính là OE/2 

b, Vì ME = MN ( 2 tiếp tuyến cắt nhau ) 

OM = ON 

Vậy EO là đường trung trực đoạn MN

Vậy OE vuông MN 

d A B C F D O H K E d'

a/

Ta có

\(\widehat{DCO}=\widehat{DAO}=90^o\) (định nghĩa tiếp tuyến)

=> DCOA là tứ giác nội tiếp => D; C; O; A cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Ta có

DC=DA (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau) (1)

Ta có

\(\widehat{DCF}=\widehat{BCd'}\) (góc đối đỉnh)

\(sđ\widehat{BCd'}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow sđ\widehat{DCF}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BC (2)

Ta có

\(sđ\widehat{DFC}=\dfrac{1}{2}\) (sđ cung AB-sđ cung AC) (góc có đỉnh ở ngoài đường tròn có số đo bằng 1/2 hiệu số đo hai cung bị chắn)

Mà sđ cung AB - sđ cung AC = sđ cung BC

\(\Rightarrow sđ\widehat{DFC}=\dfrac{1}{2}\) sđ cung BC (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{DCF}=\widehat{DFC}\) => tg DFC cân tại D => DC=DF (4)

Từ (1) và (4) => DA=DF

A B C D

Ta có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DC}{BC}\) (tính chất đường phân giác)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow AB=\dfrac{4BC}{5}\)

Ta có

\(AC=AD+DC=8+10=18cm\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow18=\sqrt{BC^2-\dfrac{16.BC^2}{25}}=\sqrt{\dfrac{9.BC^2}{25}}=\dfrac{3.BC}{5}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{5.18}{3}=30cm\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{4.BC}{5}=\dfrac{4.30}{5}=24cm\)

Đặt \(AB=x;BC=y\left(y>x>0\right)\)

Dễ thấy \(AC=AD+DC=8+10=18\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC vuông tại A, ta có \(BC^2-AB^2=AC^2\Rightarrow y^2-x^2=324\)     (1)

Để ý rằng \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\) (theo tính chất đường phân giác trong tam giác ABC)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}=\dfrac{10}{y}\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{4}x\)      (2)

Thay (2) vào (1), ta có \(\left(\dfrac{5}{4}x\right)^2-x^2=324\) \(\Leftrightarrow\dfrac{25}{16}x^2-x^2=324\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{16}x^2=324\) \(\Leftrightarrow x^2=576\Leftrightarrow x=24\) (nhận) hay ta có \(AB=24cm\)

Từ đó \(y=\dfrac{5}{4}x=\dfrac{5}{4}.24=30\left(cm\right)\) hay \(BC=30cm\)

Vậy \(AB=24cm;BC=30cm\)