tưởng gì chịu

a: Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90^0\)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{BAC}+90^0\)

Do đó: \(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\)

Xét ΔBAE và ΔDAC có

BA=DA

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\)

AE=AC

Do đó: ΔBAE=ΔDAC

=>BE=DC

Ta có: ΔBAE=ΔDAC

=>\(\widehat{AEB}=\widehat{ACD}\)

=>\(\widehat{AEK}=\widehat{ACK}\)

=>AECK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CKE}=\widehat{CAE}=90^0\)

=>DC\(\perp\)BE tại K

b: Ta có: ΔKBC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên \(KM=\dfrac{BC}{2}=3\left(cm\right)\)

\(3x=y\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{y}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}\)    (1)
\(5y=4z\)
\(\Rightarrow\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)    (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{6x}{24}=\dfrac{7y}{84}=\dfrac{8z}{120}=\dfrac{6x+7y+8z}{24+84+120}=\dfrac{456}{228}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot4=8\\y=2\cdot12=24\\z=2\cdot15=30\end{matrix}\right.\)
Vậy x = 8, y = 24 và z = 30

c: Xét ΔADB và ΔAEC có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE

Do đó: ΔADB=ΔAEC

=>AD=AC

Xét ΔHDB vuông tại H và ΔKEC vuông tại K có

BD=CE

\(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)

Do đó: ΔHBD=ΔKCE

=>HD=KE 

Ta có: ΔHBD=ΔKCE

=>\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)

mà \(\widehat{HDB}=\widehat{IDE}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KEC}=\widehat{IED}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{IDE}=\widehat{IED}\)

=>IE=ID

ta có: HD+DI=HI

KE+EI=KI

mà HD=KE và DI=EI

nên HI=KI

Ta có: AH+HB=AB

AK+KC=AC

mà HB=KC và AB=AC

nên AH=AK

Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

AH=AK

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

=>\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}\left(1\right)\)

\(\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)

=>\(\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)

mà x-y-z=28

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x-y-z}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}=-\dfrac{28}{19}\)

=>\(x=-\dfrac{28}{19}\cdot8=-\dfrac{224}{19};z=-\dfrac{28}{19}\cdot12=-\dfrac{336}{19};z=-\dfrac{28}{19}\cdot15=-\dfrac{420}{19}\)

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\Rightarrow\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}\left(1\right)\\ \dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\left(2\right)\\ \left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)

Áp dụng TC dãy tỉ số bằng nhau :

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x-y-z}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{224}{19}\\y=-\dfrac{336}{19}\\z=-\dfrac{420}{19}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x-1}{2005}=\dfrac{3-y}{2006}=\dfrac{x-1+3-y}{2005+2006}=\dfrac{4009+2}{4011}=1\)

=>\(x-1=2005;3-y=2006\)

=>x=2005+1=2006; y=3-2006=-2003

a: 4x=5y

=>\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}\)

7y=4z

=>\(\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{7}\)

Do đó: \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{7}\)

mà x-y-z=24

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{7}=\dfrac{x-y-z}{5-4-7}=\dfrac{24}{-6}=-4\)

=>\(x=-4\cdot5=-20;y=-4\cdot4=-16;z=-4\cdot7=-28\)

b:

Sửa đề: x+y-z=38

 \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}\)

=>\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{12}\left(1\right)\)
\(\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\)

=>\(\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{8}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{8}\)

mà x+y-z=38

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta đưọc:

\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{8}=\dfrac{x+y-z}{15+12-8}=\dfrac{38}{19}=2\)

=>\(x=2\cdot15=30;y=2\cdot12=24;z=2\cdot8=16\)

4x=5y;7y=4zvax-y-z=24
Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế vào. Trước tiên, chúng ta sẽ giải phương trình đầu tiên để tìm giá trị của $x$ dựa trên $y$:

$$4x = 5y$$
$$x = \frac{5y}{4}$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế giá trị của $x$ vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của $z$ dựa trên $y$:

$$7y = 4z$$
$$z = \frac{7y}{4}$$

Cuối cùng, chúng ta sẽ thay thế giá trị của $x$ và $z$ vào phương trình thứ ba để tìm giá trị của $v$:

$$x - y - z = 24$$
$$\frac{5y}{4} - y - \frac{7y}{4} = 24$$
$$\frac{5y - 4y - 7y}{4} = 24$$
$$\frac{-6y}{4} = 24$$
$$-6y = 96$$
$$y = -16$$

Sau khi tìm được giá trị của $y$, chúng ta có thể tính toán các giá trị còn lại:

$$x = \frac{5y}{4} = \frac{5(-16)}{4} = -20$$
$$z = \frac{7y}{4} = \frac{7(-16)}{4} = -28$$
$$v = x - y - z = -20 - (-16) - (-28) = -20 + 16 + 28 = 24$$

Vậy, giá trị của $x$, $y$, $z$ và $v$ lần lượt là -20, -16, -28 và 24.