Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ta có:

\(\Delta'>0;m+2\ne0\Leftrightarrow\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(m+2\right)\left(m-3\right)>0;m\ne-2\\ m^2-2m+1-m^2+m+6>0;m\ne-2\\ 7-m>0;m\ne-2\\ m< 7;m\ne-2\)

Với \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình đã cho, không mất tính tổng quát giả sử \(x_1=2x_2\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3\left(m+2\right)}\\x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{3\left(m+2\right)}\end{matrix}\right.\)

\(x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=\dfrac{m-3}{m+2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{8}{9}.\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=\dfrac{m-3}{m+2}\\ \Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2\left(m+2\right)=9\left(m+2\right)^2\left(m-3\right)\\ \Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(m+2\right)\left(m-3\right)\\ \Leftrightarrow8\left(m^2-2m+1\right)=9\left(m^2-m-6\right)\\ \Leftrightarrow m^2+7m-62=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-7-\sqrt{297}}{2}\\m_2=\dfrac{-7+\sqrt{297}}{2}\end{matrix}\right.\)

So với đầu kiện bài toán ta có 2 giá trị m thõa mãn bài toán đã cho.

a) Pt đã cho có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)\right]^2-4\left(m^2-3m\right)=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.

b) Pt đã cho cho 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-\left[-\left(2m-3\right)\right]-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{2m-3-3}{2}=m-3\) 

\(x_2=\dfrac{-\left[-\left(2m-3\right)\right]+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{2m-3+3}{2}=m\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(1< x_1< x_2< 6\) thì \(1< m-3< m< 6\) \(\Leftrightarrow4< m< 6\)

Đặt \(P=ab+4\)

Ta thấy \(a=111...11\) (n chữ số 1) \(=\dfrac{1}{9}.999...99\) (n chữ số 9) \(=\dfrac{10^n-1}{9}\) và \(b=100...011\) (\(n-2\) chữ số 0) \(=100...000+11\) n chữ số 0) \(=10^n+11\).

Do đó ta có \(P=ab+4=\dfrac{10^n-1}{9}.\left(10^n+11\right)+4\) \(=\dfrac{\left(10^n\right)^2+11.10^n-10^n-11+36}{9}\) \(=\dfrac{\left(10^n\right)^2+10^n+25}{9}=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^2\)

Ta thấy \(10^n+5\) có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên \(10^n+5⋮3\) hay \(\dfrac{10^n+5}{3}\inℕ^∗\). Từ đó \(\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^2\) là số chính phương. Vậy \(ab+4\) là số chính phương.

ĐKXĐ: \(x+2\ge0\Leftrightarrow x\ge-2\)

pt đã cho \(\Rightarrow x^2-8x+16=x^2+4x+4\) \(\Leftrightarrow12x=12\) \(\Leftrightarrow x=1\left(nhận\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=1\)

`\sqrt{x^2-8x+16}=x+2`

`<=>\sqrt{(x-4)^2}=x+2`

`<=>|x-4|=x+2`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x-4=x+2\\ x-4=-x-2\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} 0x=6 (Vô lí)\\ x=1\end{matrix}\right.$

`<=>x=1`

`2-\sqrt{x^2 -2}=0`          \(ĐK:|x| \ge \sqrt{2}\)

`<=>\sqrt{x^2-2}=2`

`<=>x^2-2=4`

`<=>x^2=6`

\(<=>x=\pm \sqrt{6}\) (t/m)

+) \(\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)=\left(2\sqrt{3}\right)^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2\\ =12-18=-6\)

+) \(\sqrt{\left(4+\sqrt{10}\right)^2}-\sqrt{\left(4-\sqrt{10}\right)^2}\\ =\left|4+\sqrt{10}\right|-\left|4-\sqrt{10}\right|\\ =4+\sqrt{10}-\left(4-\sqrt{10}\right)\\ =2\sqrt{10}\)

+) \(\dfrac{1}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}-\dfrac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2015}}\\ =\dfrac{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}{\sqrt{2013}^2-\sqrt{2014}^2}-\dfrac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{\sqrt{2014}^2-\sqrt{2015}^2}\\ =\dfrac{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\right)}{-1}\\ =\sqrt{2015}-\sqrt{2013}\)

+) \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}\\ =\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1\\ =2\sqrt{2}\)