Gọi số học sinh tiên tiếm lớp 7A là a ; học sinh lớp 7B là b ; học sinh lớp 7C là c\(\left(a;b;c\inℕ^∗\right)\)

Ta có \(\frac{a}{7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}\)

Lại có a + b + c = 48

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 

\(\frac{a}{7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=\frac{a+b+c}{7+8+9}=\frac{48}{24}=2\)

=> a = 14 ; b = 16 ; c = 18

Vậy số học sinh tiên tiến lớp 7A là 14 em ; học sinh lớp 7B là 16 em ; học sinh lớp 7C là 18 em

\(\hept{\begin{cases}2a=3b=5c\\a+b+c=31\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{1}{3}}=\frac{c}{\frac{1}{5}}\\a+b+c=31\end{cases}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{1}{3}}=\frac{c}{\frac{1}{5}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{31}{\frac{31}{30}}=30\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=30\cdot\frac{1}{2}=15\\b=30\cdot\frac{1}{3}=10\\c=30\cdot\frac{1}{5}=6\end{cases}}\)

Đặt \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4k\\y=7k\end{cases}}\)

xy = 112 <=> 4k.7k = 112 <=> 28k² = 112 <=> k² = 4 <=> k = ±2

Với k = 2 => x = 8 ; y = 14

Với k = -2 => x = -8 ; y = -14

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)

\(\frac{a+b}{b}=\frac{kb+b}{b}=\frac{b\left(k+1\right)}{b}=k+1\)(1)

\(\frac{c+d}{d}=\frac{kd+d}{d}=\frac{d\left(k+1\right)}{d}=k+1\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm