Gọi số tiền của 3 bạn Nam, Thư, Sinh lần lượt là: \(x,y,z\) ( đồng\(;x,y,z>0\))
Theo bào ra, ta có:
\(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{8}\) và \(x+y+z=168000\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{8}=\dfrac{x+y+z}{6+7+8}=\dfrac{168000}{21}=8000\)
Do đó:
\(\dfrac{x}{6}=8000\) nên \(x=8000.6=48000\)
\(\dfrac{y}{7}=8000\) nên \(y=8000.7=56000\)
\(\dfrac{z}{8}=8000\) nên \(z=8000.8=64000\)
Vậy số tiền của 3 bạn Nam, Thư, Sinh lần lượt là \(48000\) đồng; \(56000\) đồng; \(64000\) đồng

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

40% = \(\frac25\)

Vì chỉ cho mượn số sách của ngăn A nên số sách của ngăn còn lại không đổi. Số sách ngăn A lúc đầu bằng:

2 : (5 - 2) = \(\frac23\)(số sách ngăn còn lại)

Số sách ngăn A lúc sau bằng:

1 : (3 - 1) = \(\frac12\)(số sách ngăn còn lại)

5 quyển sách Hà cho bạn mượn ứng với:

\(\frac23-\frac12\) = \(\frac16\)(Số sách ngăn còn lại)

Số sách ngăn còn lại là: 5 : \(\frac16\) = 30 (quyển)

Số sách ngăn A lúc đầu là: 30 x \(\frac23\) = 20(quyển)

Tổng số sách hai ngăn lúc đầu là:

30 + 20 = 50 (quyển)

Kết luận ban đầu hai ngăn có số sách là: 50 quyển sách.

a: Xét ΔEDG và ΔFDG có

DE=DF

DG chung

EG=FG

Do đó: ΔEDG=ΔFDG

=>\(\widehat{EDG}=\widehat{FDG}\)

=>DG là phân giác của góc EDF

=>\(\widehat{EDG}=\dfrac{90^0}{2}=45^0=\widehat{DFG}\)

b:

Ta có: ΔDEF cân tại D

mà DG là đường trung tuyến

nên DG\(\perp\)EF tại G

Ta có: \(\widehat{IDE}+\widehat{IDF}=\widehat{EDF}=90^0\)

\(\widehat{IDF}+\widehat{DFK}=90^0\)(ΔFKD vuông tại K)

Do đó: \(\widehat{IDE}=\widehat{DFK}\)

Xét ΔIDE vuông tại I và ΔKFD vuông tại K có

DE=FD

\(\widehat{IDE}=\widehat{KFD}\)

Do đó: ΔIDE=ΔKFD
=>EI=DK

Xét tứ giác FGKD có \(\widehat{FKD}=\widehat{FGD}=90^0\)

nên FGKD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{GKH}=\widehat{GFD}\left(=180^0-\widehat{GKD}\right)\)

=>\(\widehat{GKH}=45^0\)

Xét tứ giác DGIE có \(\widehat{DGE}=\widehat{DIE}=90^0\)

nên DGIE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{GID}=\widehat{GED}=45^0\)

Xét ΔGIK có \(\widehat{GIK}=\widehat{GKI}=45^0\)

nên ΔGIK vuông cân tại G

x;y;z tỉ lệ với 3;5;6

=>\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}\)

mà 3x+y-z=-52

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{3x+y-z}{3\cdot3+5-6}=\dfrac{-52}{9+5-6}=\dfrac{-52}{8}=-\dfrac{13}{2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{13}{2}\cdot3=-\dfrac{39}{2}\\y=-\dfrac{13}{2}\cdot5=-\dfrac{65}{2}\\z=-\dfrac{13}{2}\cdot6=-39\end{matrix}\right.\)

Chắc chắn rồi, hãy cùng phân tích bài tập này nhé!

1. Vẽ đồ thị và xác định lượng cung thị trường:

• Lượng cung thị trường (Qs): Để tính lượng cung thị trường khi chỉ có doanh nghiệp A và B, ta cộng lượng cung của từng doanh nghiệp tại mỗi mức giá: Qs = QA + QB.
• • P = 50: Qs = 9 + 11 = 20
  • P = 40: Qs = 9 + 20 = 29
  • P = 30: Qs = 5 + 7 = 12
  • P = 20: Qs = 3 + 5 = 8
  • P = 10: Qs = 1 + 3 = 4
• Vẽ đồ thị:
• • Trục tung (dọc): Giá (P)
  • Trục hoành (ngang): Lượng cung (Q)
  • Vẽ đường cung của từng doanh nghiệp (QA, QB) và đường cung thị trường (Qs) dựa trên số liệu đã tính.

2. Xác định hàm cung của từng doanh nghiệp:

• Doanh nghiệp A:
• • Quan sát bảng số liệu, ta thấy mỗi khi giá tăng 10 đơn vị, lượng cung của A tăng 2 đơn vị.
  • Hàm cung có dạng: QA = a + bP
  • Tính hệ số góc (b): b = ΔQA / ΔP = 2 / 10 = 0.2
  • Khi P = 10, QA = 1. Thay vào hàm cung: 1 = a + 0.2 * 10 => a = -1
  • Vậy, hàm cung của A là: QA = -1 + 0.2P
• Doanh nghiệp B:
• • Quan sát bảng số liệu, ta thấy mỗi khi giá tăng 10 đơn vị, lượng cung của B tăng lần lượt là 9, 13, 2, 2. Vì vậy ta nhận định rằng hàm cung của doanh nghiệp B sẽ là hàm cung phi tuyến tính.
• Hàm cung thị trường (Qs):
• • Quan sát bảng số liệu, ta thấy mỗi khi giá tăng 10 đơn vị, lượng cung của thị trường tăng 4 đơn vị.
  • Hàm cung có dạng: Qs = a + bP
  • Tính hệ số góc (b): b = ΔQs / ΔP = 4 / 10 = 0.4
  • Khi P = 10, Qs = 4. Thay vào hàm cung: 4 = a + 0.4 * 10 => a = 0
  • Vậy, hàm cung thị trường là: Qs = 0.4P

3. Tác động của doanh nghiệp C:

• Nhận xét: Khi doanh nghiệp C gia nhập, lượng cung thị trường tăng lên ở mọi mức giá (Qs* > Qs). Điều này thể hiện sự mở rộng của cung thị trường.
• Sự dịch chuyển: Đường cung thị trường dịch chuyển sang phải, thể hiện sự gia tăng lượng cung tại mỗi mức giá.
• Hàm cung thị trường mới (Qs*):
• • Quan sát bảng số liệu, ta thấy mỗi khi giá tăng 10 đơn vị, lượng cung của thị trường tăng 6 đơn vị.
  • Hàm cung có dạng: Qs* = a + bP
  • Tính hệ số góc (b): b = ΔQs* / ΔP = 6 / 10 = 0.6
  • Khi P = 10, Qs* = 4. Thay vào hàm cung: 4 = a + 0.6 * 10 => a = -2
  • Vậy, hàm cung thị trường mới là: Qs* = -2 + 0.6P

Tóm tắt:

• Đồ thị đường cung thể hiện mối quan hệ giữa giá và lượng cung.
• Hàm cung của A: QA = -1 + 0.2P
• Hàm cung của B: Hàm phi tuyến tính.
• Hàm cung thị trường (A+B): Qs = 0.4P
• Hàm cung thị trường (A+B+C): Qs* = -2 + 0.6P
• Sự gia nhập của doanh nghiệp C làm tăng cung thị trường và dịch chuyển đường cung sang phải.

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

Do đó: ΔAEM=ΔAFM

=>ME=MF

mà MF<MC(ΔMFC vuông tại F)

nên ME<MC

1. Vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC cân tại A (AB = AC).
• Vẽ tia phân giác góc A, cắt cạnh BC tại điểm H.
• Từ điểm H, vẽ đường vuông góc xuống cạnh AB tại điểm K (HK là hình chiếu của H trên AB).
• Từ điểm H, vẽ đường vuông góc xuống cạnh AC tại điểm M (HM là hình chiếu của H trên AC).

2. Phân tích bài toán:

• Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc B = góc C.
• Vì AH là tia phân giác góc A, nên góc BAH = góc CAH.
• HK và HM là các đường cao, tạo ra các tam giác vuông HKH và HCM.

3. Các tính chất và định lý có thể áp dụng:

• Tính chất của tam giác cân: Hai góc ở đáy bằng nhau, đường phân giác cũng là đường trung tuyến, đường cao.
• Định lý về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
• Tính chất của tia phân giác trong tam giác.

4. Một số điều có thể chứng minh được từ bài toán:

• Tam giác AHK bằng tam giác AHM (cạnh huyền - góc nhọn).
• HK=HM.
• Tam giác BKH bằng tam giác CHM(cạnh huyền-góc nhọn).
• BK=CM.
• BH=CH.

Hình vẽ minh họa:

      A
     / \
    /   \
   /     \
  K-------M
 / \     / \
B---H---C

Lưu ý:

• Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, bạn nên tự vẽ hình chính xác để dễ dàng quan sát và giải bài toán.
• Bạn có thể sử dụng các tính chất và định lý đã nêu để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán.

a/ Tính góc MAN:

• Vì tam giác ABN cân tại B (BA=BN) và tam giác ACM cân tại C (CA=CM) nên:
• • Góc ANB = (180° - góc ABC) / 2
  • Góc AMC = (180° - góc ACB) / 2
• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: góc ABC + góc ACB = 90°
• Suy ra: góc ANB + góc AMC = (360° - (góc ABC + góc ACB)) / 2 = (360° - 90°) / 2 = 135°
• Trong tam giác AMN, ta có: góc MAN = 180° - (góc ANB + góc AMC) = 180° - 135° = 45°

b/ Chứng minh MD vuông góc với AN, NE vuông góc với AM:

• Xét tam giác ABN cân tại B, tia phân giác góc ABC cắt AN tại D nên D là trung điểm của AN.
• Xét tam giác ACM cân tại C, tia phân giác góc ACB cắt AM tại E nên E là trung điểm của AM.
• Xét tam giác AMN, ta có:
• • MD là đường trung tuyến của cạnh AN.
  • NE là đường trung tuyến của cạnh AM.
• Gọi O là giao điểm của MD và AN.
• Xét tam giác ADN, ta có:
• • AD = DN (D là trung điểm AN)
  • MD là đường trung tuyến.
  • Tam giác ADN cân tại D.
  • Suy ra: MD vuông góc với AN.
• Tương tự, ta chứng minh được NE vuông góc với AM.

c/ Chứng minh tam giác IEK vuông cân:

• Gọi I là trung điểm của MN.
• Ta có:
• • ID là đường trung bình của tam giác AMN.
  • IE là đường trung bình của tam giác AMN.
• Suy ra: ID // AM và IE // AN.
• Mà AM vuông góc với NE và AN vuông góc với MD nên ID vuông góc với NE và IE vuông góc với MD.
• Xét tứ giác MDNE, ta có:
• • Góc MDN = góc MEN = 90°
  • Suy ra: tứ giác MDNE nội tiếp.
• Gọi H là giao điểm của MD và NE.
• Xét tam giác AHN vuông tại H, ta có: K là trung điểm của AH nên KH = KA = KN.
• Xét tam giác AMH vuông tại H, ta có: K là trung điểm của AH nên KH = KA = KM.
• Suy ra: KN = KM.
• Xét tam giác KMN, ta có: KN = KM và I là trung điểm của MN nên KI vuông góc với MN.
• Xét tam giác IEK, ta có:
• • IE vuông góc với MD.
  • KI vuông góc với MN.
  • Suy ra: tam giác IEK vuông tại I.
• Xét tam giác KMN cân tại K, ta có: góc KMN = góc KNM.
• Mà góc KMN = góc IEK và góc KNM = góc IKE nên góc IEK = góc IKE.
• Suy ra: tam giác IEK cân tại I.
• Vậy tam giác IEK vuông cân tại I.