A B D C P S H O Q R

a ) Theo định lí Py - ta - go

\(HA^2+HB^2=AB^2;HC^2+HB^2=BC^2;HC^2+HD^2=CD^2;HA^2+HD^2=AD^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b ) Tứ giác \(HPBS\)nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HPS}=\widehat{HBS}=\widehat{DBC}\)

Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{HPQ}=\widehat{HAQ}=\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)

Do đó : \(\widehat{SPQ}=\widehat{HPS}+\widehat{HPQ}=2\widehat{CBC}\)

Tương tư : \(\widehat{SQR}=2\widehat{BDC}\)

Do đó : \(\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{SPQ}+\widehat{SRQ}=180^0\) nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí
đảo)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)

Suy ra : 

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)

Tường tự ta có : 

\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)

\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) 

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)

Chúc bạn học tốt !!!

địt mẹ laaaaaa

Nghĩ mãi mới ra bài này:

Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\Rightarrow ab=\frac{x^2y^2}{z^2}\ge1\Rightarrow xy\ge z\)

Thay vào, quy đồng lên ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm: 

(x - y)^2*(2*x^4*y^2 + 4*x^3*y^3 + 2*x^2*y^4 + 2*x^4*z + 4*x^3*y*z + 13*x^2*y^2*z + 4*x*y^3*z + 2*y^4*z + 4*x^2*z^2 + 8*x*y*z^2 + 4*y^2*z^2 - 10*z^3) + (x*y - z)*(3*x*y + 2*z)*(3*x^2*y^2 + 7*x*y*z + 6*z^2)

Mặt khác đây là điều hiển nhiên:))

Test tool. (Xin lỗi bạn vì spam nhé)