Bài 3 

Với abc=1

Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)

\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)

       \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)

Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)

Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)

Khi đó

\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)

\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)

A B C D E I P Q K S T F R L V J x

Bổ đề 1: Xét tam giác nhọn ABC, trên cạnh AB,AC lần lượt lấy D,E sao cho BD = CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,BC. Khi đó MN song song với đường phân giác trong của ^BAC.

Bổ đề 2: [Đường thẳng Gauss] Xét tứ giác lồi ABCD. AB giao CD tại X, AD giao BC tại Y. Gọi H,I,K thứ tự là trung điểm các đoạn AC,BD,XY. Khi đó H,I,K thẳng hàng.

Hai bổ đề trên khá quen thuộc, không trình bày ở đây.

Quay trở lại bài toán: Gọi V,J,L thứ tự là trung điểm của AI,DE,BC. Gọi JL cắt PQ tại R.

Dễ thấy V,J,L,R nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác AEID. Áp dụng bổ đề 1 ta thu được:

VR // AK. Mà V là trung điểm AI nên R là trung điểm IK (*)

Mặt khác ta thấy P,I,Q thẳng hàng, gọi PQ cắt (BID),(CIE) lần lượt tại S,T (S,T khác I), SB cắt TC tại F, Fx là phân giác ^BFC.

Ta có hai tam giác DIB,EIC có BD = CE, ^BID = ^EIC => (BID) = (EIC)

Theo tính chất của tâm nội tiếp thì SD = SP = SB, TE = TQ = TC. Từ đây SB = TC

Ta lại có biến đổi góc sau ^BFx = 1/2.^BFC = 90⁰ - BDI/2 - ^CEI/2 = ^ADI/2 + ^AEI/2 - 90⁰

= 180⁰ - ^DAE/2 - ^DIE/2 - 90⁰ = ^EIT - ^DAE/2 = ^SBD - ^DAE/2 (= Góc hợp bởi AK và SB)

=> Fx // AK. Mà AK // RL nên Fx // RL. Áp dụng bổ đề 1 (với SB = TC) ta được R là trung điểm ST

Suy ra RS = RT => RP + SP = RQ + TQ => RP = RQ (Do SP = TQ) => R là trung điểm PQ (**)

Từ (*) và (**) suy ra KP = IQ. Như vậy KP + IK = IQ + IK => IP = QK (đpcm).

\(hpt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{20}{x+2y}-\frac{5}{x-2y}=5\\\frac{20}{x+2y}+\frac{3}{x-2y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{8}{x-2y}=-4\\\frac{20}{x+2y}+\frac{3}{x-2y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-2y}=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{x+2y}=\frac{1}{8}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=-2\\x+2y=8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

câu hỏi hay nhưng ko hay bằng mình

             Dân ta phải biết sử ta 

        Cái gì hổng biết lên tra google

                 Chúc học tốt

Xét điều kiện \(\hept{\begin{cases}x>2\\x>-1\\x< \frac{1}{2}\end{cases}}\)(vô nghiệm)

Vậy pt vô nghiệm

\(\hept{\begin{cases}x< \frac{1}{2}\\x>2\\x>-1\end{cases}}\)

mk gõ nhầm nha

\(a,pt\Leftrightarrow\sqrt{3+\sqrt{x}}=3-x\)

\(\Leftrightarrow3+\sqrt{x}=9+x^2-6x\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x-\sqrt{x}+6=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)-6\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x\sqrt{x}+x-5\sqrt{x}-6\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\)

Em thử nha, sai thì thôi

b) ĐK: \(0\le x\le1\)

Nhân liên hợp:

\(PT\Leftrightarrow3\left(\sqrt{1-x}+1\right)=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\)

Do x=< 1 nên \(VT=3\left(\sqrt{1-x}+1\right)\ge3.1=3\)

\(VP\le\sqrt{1+3}+\sqrt{1}=3\)

Để xảy ra đẳng thức thì \(VT=VP=3\) <=> x = 1

\(\sqrt{x+2}=2-x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2}\right)^2=\left(2-x^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x-2=4-4x^2+x^4\)

\(\Leftrightarrow4-4x^2+x^4=x-2\)

\(\Leftrightarrow4-4x^2+x^2+2=x\)

\(\Leftrightarrow4x^2-x^2+6=x\)

\(\Leftrightarrow4x^2-x^2+6-x=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+6-x=0\)

=> PT vô nghiệm

sao từ x⁴thành x² vậy bạn

\(x-2=\left(2-x\right)^2\)

\(x-2=4-4x+x^2\)

\(x^2-5x+6=0\)

\(\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=3\end{cases}}\)

thấy x=3 ko tm

=> x=2 là no pt

CÁCH 2:

ĐK: 

\(\hept{\begin{cases}x\supseteq2\\x\subseteq2\end{cases}}\)

=>\(x=2\)

vậy x=2 là no

\(A=2\left(x+\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{9}{16}\right)-\frac{233}{8}\)

\(A=2\left(\sqrt{x}+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{233}{8}\ge-\frac{233}{8}\)

\("="\Leftrightarrow\sqrt{x}=-\frac{3}{4}\)ko xảy ra dấu bằng

A B C H

Thiếu đề 

Áp dụng tỉ số lượng giác là ra thôi bạn!