Ta thấy các hệ số \(a,b,c\) của phương trình đã cho thỏa mãn \(a-b+c=1-\left[-\left(m-3\right)\right]-m+2=1+m-3-m+2=0\)

nên phương trình đã cho sẽ có một nghiệm là \(-1\) và nghiệm kia là \(m-2\).

Trong hệ thức \(x_1^2+x_2=8\), vai trò của \(x_1,x_2\) không như nhau nên ta xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu \(x_1=-1\) thì \(x_1^2+x_2=8\Leftrightarrow\left(-1\right)^2+m-2=8\Leftrightarrow m=9\).

TH2: Nếu \(x_2=-1\) thì \(x_1^2+x_2=8\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-1=8\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=9\) \(\Leftrightarrow m-2=\pm3\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\end{matrix}\right.\). 

Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa điều kiện đề cho thì \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=5\\m=9\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$n^3-3n^2-3n-1=n(n^2+n+1)-4n^2-4n-1$

$=n(n^2+n+1)-4(n^2+n+1)+3=(n^2+n+1)(n-4)+3$

Với $n$ nguyên,  để $n^3-3n^2-3n-1$ chia hết cho $n^2+n+1$ thì $3\vdots n^2+n+1$, hay $n^2+n+1$ là ước của $3$

Mà $n^2+n+1=(n+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên:

$n^2+n+1\in\left\{1; 3\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; -1; 1; -2\right\}$

Gọi vận tốc của ô tô chưa tăng là \(v\left(km\text{/}h\right)\)

Theo bài toán, ta có:

\(\dfrac{1}{2}\left(10:v\right)=10:\left(v+10\right)\)

\(\Rightarrow\left(10:v\right):2=10:\left(v+10\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(10:v\right):2:2=10:\left(v+10\right):2\)

\(\Leftrightarrow10:v=5:\left(v+10\right)\)

\(\Leftrightarrow10:v:5=5:\left(v+10\right):5\)

\(\Leftrightarrow2:v=v+10\)

\(\Leftrightarrow2:v:2=\left(v+10\right):2\)

\(\Leftrightarrow v=\dfrac{v}{2}+5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{v}{2}-5=0\)

\(\Leftrightarrow v:2=5\)

\(\Rightarrow v=10\)

Vậy vận tốc của ô tô lúc chưa tăng là 10km/h

Gọi vận tốc ban đầu là : \(x\left(km/h\right)-ĐK:x>0\)

Vận tốc sau khi tăng thêm \(10km/h\) là : \(x+10\left(km/h\right)\)

+) Thời gian đi hết quãng đường AB ban đầu : \(\dfrac{10}{x}\left(h\right)\)

+) Thời gian đi hết quãng đường AB nếu tăng vận tốc thêm \(10km/h\) là : \(\dfrac{10}{x+10}\left(h\right)\)

Theo đề bài, ta có pt :

\(2.\dfrac{10}{x+10}=\dfrac{10}{x}\\ < =>\dfrac{2}{x+10}=\dfrac{1}{x}\\ < =>2x=x+10\\ < =>x=10\)

Vậy vận tốc ban đầu : \(10km/h\)

Lời giải:

$2x+|2y-5|=3$

$x-3|2y-5|=-2$

$\Rightarrow 3(2x+|2y-5|)+(x-3|2y-5|)=3.3+(-2)$

$\Leftrightarrow 7x=7$

$\Leftrightarrow x=1$

$|2y-5|=3-2x=3-2.1=1$

$\Rightarrow 2y-5=\pm 1$

$\Rightarrow y=3$ hoặc $y=2$

Vậy $(x,y)=(1,3); (1,2)$

Bài 1:
$2x^4-3x^2-5=0$

$\Leftrightarrow (2x^4+2x^2)-(5x^2+5)=0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x^2+1)-5(x^2+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+1)(2x^2-5)=0$

$\Leftrightarrow 2x^2-5=0$ (do $x^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$)

$\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Bài 2:

a. Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2-6x+5=0$

$\Leftrightarrow (x^2-x)-(5x-5)=0$

$\Leftrightarrow x(x-1)-5(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-5)=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ hoặc $x-5=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=5$

b.

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
$\Delta=(m+5)^2-4(-m+6)\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2+14m+1\geq 0(*)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m+5$
$x_1x_2=-m+6$

Khi đó:
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=18$

$\Leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2)=18$

$\Leftrightarrow (m+5)(-m+6)=18$

$\Leftrightarrow -m^2+m+12=0$
$\Leftrightarrow m^2-m-12=0$

$\Leftrightarrow (m+3)(m-4)=0$

$\Leftrightarrow m=-3$ hoặc $m=4$

Thử lại vào $(*)$ thấy $m=4$ thỏa mãn.

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\y>-2\end{matrix}\right.\)

Có : x³ + x + 2 = y³ - 3y² + 4y

<=> x³ + x + 2 = (y³ - 3y² + 3y - 1) + y + 1

<=> x³ + x + 2 = (y - 1)³ + y + 1 

<=> x³ - (y - 1)³ + x - y + 1 = 0 

<=> (x - y + 1)[x² + x(y - 1) + (y - 1)²]  + (x - y + 1)  = 0

<=>  (x - y + 1)[x² + x(y - 1) + (y - 1)² + 1] = 0

<=> x - y + 1 = 0 (Vì  x² + x(y - 1) + (y - 1)² + 1 > 0 \(\forall x;y\)  )

<=> y = x + 1

Thay y = x + 1 

\(2\sqrt{x+2}=y+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+2}=x+3\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x+2}+3=0\)

\(\Leftrightarrow(\sqrt{x+2}-1)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=1\)

\(\Leftrightarrow x=-1\) (tm)

Khi đó y = 0

Vậy (x;y) = (-1;0)