cho 3 số thực dương thỏa mãn : x+y+z=2019 tìm GTNN của : \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{3}{4xy}+\frac{3}{4yz}+\frac{3}{4zx}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4 tháng 3 2020
\(\frac{3}{2}=a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\)
\(\le\frac{a^2+1-b^2}{2}+\frac{b^2+1-c^2}{2}+\frac{c^2+1-a^2}{2}=\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{3}{2}\le\frac{3}{2}\)( chỉ xảy ra dấu "=" )
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{cases}}\)=> \(a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
=> \(B=a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)
QL
1
7 tháng 3 2020
x^2-xy+y^2=x^2.y^2+3
⇔x²-xy+y²-x²y²=3
⇔Nghiệm ko thỏa mãn
4 tháng 3 2020
Vì c, d là 2 số nguyên liên tiếp nên \(d=c+1\)
Thay vào đẳng thức \(a-b=a^2c-b^2d\)ta được
\(a-b=a^2c-b^2\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[c\left(a+b\right)-1\right]=b^2\)
Dễ dàng chứng minh được \(\left(a-b,c\left(a+b\right)-1\right)=1\)
nên \(\left|a-b\right|\)là số chính phương
Ta có:
\(P=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\right)+\frac{5}{12}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zx}+\frac{5}{12}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{5}{12}.\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{5}{12}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{93}{4\left(x+y+z\right)^2}=\frac{93}{4\left(2019\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2019/3.