đầu tiên ta chứng minh \(n^3+n\)chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

ta có : \(n^3+n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

áp dụng ta sẽ có

chiều thuận : \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6

áp dụng điều trên ta có \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=\left(a^3+a\right)+\left(b^3+b\right)+\left(c^3+c\right)\) cũng chia hết cho 6

nên \(a+b+c\) chia hết cho 6.

chiều đảo: \(a+b+c\)chia hết cho 6

áp dụng điều trên ta có \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=\left(a^3+a\right)+\left(b^3+b\right)+\left(c^3+c\right)\) cũng chia hết cho 6

nên \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.

vậy ta có đpcm

áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có

\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)

tương tự ta có

\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)

cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

A B C D M N E

ta dựng hình bình hành ABME như hình vẽ 

ta có \(\frac{BM}{AD}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{DN}\Rightarrow BM.DN=AD.ME=AD.DB\) là không đổi

do đó ta có đpcm, 

còn câu b đề sai nhỉ, rõ ràng AM,AN>AD mà nhỉ

A B C M N 11 8 24

Bài làm

Xét tam giác ABC

MN // BC

Theo hệ quả định lí Talet có:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)

hay \(\frac{11}{11+8}=\frac{AN}{24}\)

=> \(\frac{11}{19}=\frac{AN}{24}\Rightarrow AN=\frac{11\cdot24}{19}\approx13,9\left(cm\right)\)

Ta có: AN + NC = AC

hay 13,9 + NC = 24

=> NC = 24 - 13,9 = 10,1 (cm)

Vậy....

Ta có: \(\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2\)

Thay \(x^2+y^2=30;\)\(xy=5\)vào \(\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2,\)ta có:

        \(\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2=30-2.15=0\)

Vậy \(\left(x-y\right)^2=0\)