ko biết

Ta có AM là tiếp tuyến (O)

=> tam giác OMA vuông ở M

mà MI vuông góc AO (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> OM²=OI*OA(hệ thức lượng)

=>R²=OI*OA

Thay \(xy+yz+zx=5\) vào P, ta có:

\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\le\frac{3\left(y+x\right)+2\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta đươc:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z}=\frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)=2\left(y+z\right)=2\left(z+x\right)\\z+y=z+x\\xy+yz+zx=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}}\)

\(P=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

\(P=\frac{x^2}{2xy+zx}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{z^2}{2z+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Gọi h/s cần tìm có dạng: y = ax + b (a khác 0)

PT hoành độ giao điểm của d1 và d2 là: 2x - 1 = x <=> x = 1

Thay x = 1 vào hs y = x ta dc y = 1

Vậy giao điểm của d1 và d2 có tọa độ là (1;1)

Vì hs cần tìm // vs d3 nên a = -3 và b khác 2

và hs cần tìm đi qua giao điểm của d1 và d2 nên thay x = 1; y = 1 vào hs y = ax + b ta dc: a + b = 1

hay -3 + b = 1 => b = 4

Vậy h/s cần tìm là: y = -3x + 4

PTHĐGĐ của (d₁) và (d₂):

x = 2x - 1

<=> x = 1

thay x = 1 vào (d₂) ta được y = 1

=> điểm (1; 1) là giao điểm của (d₁) và (d₂)

gọi (d) : ax + b

do (d) // (d₃) và đi qua giao điểm của (d₁) và (d₂)

=> (d) // (d₃) nên a = a' hay a = -3

và b # b' hay b # 2 

lại có a + b = 1 => b = 4 (thỏa)

vậy (d): -3x + 4

ĐKXĐ: x > 0 và x \(\ne1\)

P = 1 hay \(\frac{3\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=1\)

<=> \(x-\sqrt{x}=3\sqrt{x}\) <=> \(x-4\sqrt{x}=0\) <=> \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=4\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\left(KTM\right)\\x=16\left(TM\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 16 thì ...

\(P=\frac{3\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\)

điều kiện xác định: \(x\ne1;0\)

PT <=> \(P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

để P = 1 hay \(\frac{3}{\sqrt{x}-1}=1\)

<=>\(\frac{3}{\sqrt{x}-1}-1=0\)

<=> \(\frac{3-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=0\)

<=> \(\frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=0\)

<=> \(4-\sqrt{x}=0\)

<=> \(\sqrt{x}=4\)

<=> x = 16 (thỏa mãn điều kiện)

vậy ...