Ta có: \(VT-VP\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)\ge0\) (áp dụng bđt cô si cho 3 số dương)

P/s: Is it true? Trong sách nâng cao và pt toán 8 của tác giả vũ hữu bình em nhớ nó phức tạp lắm mà sao em làm lai đơn giản nhỉ?

có đâu, ncptriển tập hai có đâu

Bạn tham khảo CHTT :

Câu hỏi của - Đinh Thùy Dương.

Có câu trả lời của Trần Huyền Trang.

Bạn xem có đúng ko ?

\(\frac{x+2+\sqrt{x^2-4}}{x+2-\sqrt{x^2-4}}+\frac{x+2-\sqrt{x^2-4}}{x+2+\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\frac{\left(x+2+\sqrt{x^2-4}\right)^2+\left(x+2-\sqrt{x^2-4}\right)^2}{\left(x+2+\sqrt{x^2-4}\right)\left(x+2-\sqrt{x^2-4}\right)}\)

\(=\frac{\left(x^2+4+x^2-4+4x+2\sqrt{x^2-4}+x\sqrt{x^2-4}\right)+\left(x^2+4+x^2-4+4x-2\sqrt{x^2-4}-x\sqrt{x^2-4}\right)}{x^2+2x-x\sqrt{x^2-4}+2x+4-2\sqrt{x^2-4}+x\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x^2-4}-x^2+4}\)\(=\frac{4x^2+8x}{4x+8}=\frac{4x\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)}=x\)

\(DK:x\ne1,-1,-2\)

\(\frac{x+2+\sqrt{x^2-4}}{x+2-\sqrt{x^2-4}}+\frac{x+2-\sqrt{x^2-4}}{x+2+\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\frac{\left(x+2+\sqrt{x^2-4}\right)^2+\left(x+2-\sqrt{x^2-4}\right)}{\left(x+2\right)^2-x^2+4}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)^2+2\left(x+2\right)\sqrt{x^2-4}+x^2-4+\left(x+2\right)^2-2\left(x+2\right)\sqrt{x^2-4}+x^2-4}{4x+8}\)

\(=\frac{4x^2+8x-8}{4x+8}\)

\(=\frac{x^2+2x-2}{x+2}\)

a.\(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b\)

b.\(DK:x\ge0\)

\(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{2+\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}+2\)

Bài làm:

Mk cx ko chắc nx nha !

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

\(=3-\left(\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\right)\)(mk không biết cách viết nên ns nhé, tổng trong ngoặc { m, là

cái Tổng trong ngoặc dưới tổng có một dấu ngoặc nhọn, dưới dấu ngặc nhọn có M}

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)\(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=2\)

(Do \(a+b+c\le ab+bc+ca\))

Vậy \(M\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=3-M\le1\)(Đpcm)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Chép bài à bn tại sao \(A=\frac{1}{a+b+1}\) thế 2 ở bên kia đ?

Hơn nữa bất đẳng thức bn sai bét rồi người ta bảo bất đẳng thức bên kia mà sao bạn cho tổng luôn 

3- lấy đâu ra kết quả phải là \(2^2\)chứ 

Nếu ghi sai đề bài là bn sai cả bài k chắc đ :)

Ngoài ra các tổng bên ngoặc k có 4 hay 2 gì hết sai hết r nhé