dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé

MK LỚP 5 NÊN KO BT KẾT BẠN IK

tại s t phải kết bạn v m

Ta có : \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)

                                       \(=ay^2+az^2+bz^2+bx^2+cx^2+cy^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\) 

                                       \(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)

Từ \(a+b+c=0\)                    \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=-a\\c+a=-b\\a+b=-c\end{cases}}\) 

Thay vào \(\left(1\right)\), ta được :

\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\left(đpcm\right)\)

Ta có : \(x^2+2y+1=0;y^2+2z+1=0;z^2+2x+1=0\)

\(\Rightarrow x^2+2y+1=y^2+2z+1=z^2+2x+1\)

\(\Rightarrow x^2+2y+1-y^2-2z-1-z^2-2x-1=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2-2y+1\right)-\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-\left(z+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z+1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-1=0\\z+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)

Thay \(x=1;y=1;z=-1\)vào A ta có :

\(A=1^{2015}+1^{2016}+\left(-1\right)^{2017}=1+1-1=1\)

Vậy A = 1

Từ \(\hept{\begin{cases}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\\\left(z+1\right)^2\ge0\forall z\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\):

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=0\\\left(z+1\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y+1=0\\z+1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=y=z=-1\)

\(\Rightarrow A=\left(-1\right)^{2015}+\left(-1\right)^{2016}+\left(-1\right)^{2017}=-1+1-1=-1\)

Vậy \(A=-1\)

Áp dụng cái bổ đề nhưu ở lần trước mình CM cho bạn ý

Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\) thì ta có:

\(3\left(x^2-6x+9\right)\left(1-x^2\right)\left(6x-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(6x-10\right)=0\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-1;1;3;\frac{5}{3}\right\}\)

bạn Đoạt Mệnh Thương giải rõ hơn đc ko

Ta có : \(x^2+2xy+x+y^2+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+x+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=-\left(x+4y\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=-\left(x+4y\right)\left(2\right)\\x+y=x+4y\left(3\right)\end{cases}}\)

• Từ \(\left(2\right)\): \(\Leftrightarrow2x=-5y\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{-5}=\frac{y}{2}\)

Đặt \(\frac{x}{-5}=\frac{y}{2}=k\left(k\inℤ\right)\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\)nên từ \(\left(1\right)\):

\(\Rightarrow-\left(x+4y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x+4y\le0\)

\(\Rightarrow x\le-4y\left(4\right)\)

Khi đó : \(\hept{\begin{cases}x=-5k\\y=2k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow-5k\le-8k\)

\(\Rightarrow3k\le0\)

\(\Rightarrow k\le0\)

• Từ \(\left(3\right)\): \(\Leftrightarrow3y=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\)

Khi đó, PT tương đương với : \(x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm (x;y) của PT là : \(S=\left\{\left(0;0\right);\left(0;-1\right);\left(-5k;2k\right)\right\}\)\(\left(k\inℤ,k\le0\right)\)

Xét :

• \(p=2\)

\(\Rightarrow2p^2+1=9\)(là hợp số)

\(\Rightarrow\)Loại

• \(p=3\)

\(\Rightarrow2p^2+1=19\)(là số nguyên tố)

\(\Rightarrow\)Chọn

• \(p>3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p=3k+1\\p=3k+2\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)

Với \(p=3k+1\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow2p^2+1=3\left(6k^2+4k+1\right)⋮3\)(là hợp số ,do \(p>3\))

Với \(p=3k+2\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow2p^2+1=3\left(6k^2+8k+3\right)⋮3\)(là hợp số ,do \(p>3\))

\(\Rightarrow\)Với \(p>3\)thì \(2p^2+1\)luôn là hợp số

Vậy \(p=3\)

Ta có: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

Vì a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3

=> a,b đều lẻ

=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)⋮2\\\left(a+b\right)⋮4\end{cases}}\Rightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮8\)

Ta xét 2 số a,b trong 2 TH sau:

Vì a,b không chia hết cho 3 nên

Nếu a,b cùng dư khi chia cho 3 => a-b chia hết cho 3

Nếu a,b khác dư khi chia cho 3 => a+b chia hết cho 3

=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) luôn chia hết cho 3

Từ 2 điều trên => \(a^2-b^2⋮24\)

\(\left(\frac{x+1}{2019}+1\right)+\left(\frac{x+2}{2018}+1\right)+...=...+\left(\frac{x+6}{2014}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2020}{2019}+\frac{x+2020}{2018}+\frac{x+2020}{2017}=\frac{x+2020}{2016}+\frac{x+2020}{2015}+\frac{x+2020}{2014}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2020\right)\left(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}-\frac{1}{2014}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2020=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2020\)

Vậy \(x=-2020\)

Ta có: \(\frac{13}{x^2}-\frac{36}{\left(x+6\right)^2}=1\left(x\ne\left\{0;-6\right\}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{13\left(x+6\right)^2-36x^2}{x^2\left(x+6\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow13\left(x^2+12x+36\right)-36x^2=x^2\left(x^2+12x+36\right)\)

\(\Leftrightarrow-23x^2+156x+468=x^4+12x^3+36x^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+59x^2-156x-468=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^3\right)+\left(10x^3+20x^2\right)+\left(39x^2+78x\right)-\left(234x+468\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^3+10x^2+39x-234\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left[\left(x^3-3x^2\right)+\left(13x^2-39x\right)+\left(78x-234\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+13x+78\right)=0\)

Vì \(x^2+13x+78>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=3\end{cases}}\)

Vậy x = -2 hoặc x = 3