Thay a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b) vào giả thiết ta có:

(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0

<=> [(a+b)+c].\(\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]\)-3ab(a+b+c)=0

<=> (a+b+c) (a²+b²+c²-ab-bc+c²-3ab)=0

<=> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

• Nếu a+b+c=0

\(\Rightarrow A=\frac{b+a}{b}\cdot\frac{c+b}{c}\cdot\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}\cdot\frac{-a}{c}\cdot\frac{-b}{a}\Rightarrow A=-1\)

• Nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=> a=b=c

Khi đó \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

A B C M D E

a) 

Xét tam giác AMB có: MD là pg góc AMB

=>  \(\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}\)        ( 1 )

Xét tam giác AMC có: MD là pg góc AMC

=> \(\frac{AE}{CE}=\frac{AM}{CM}\)

Mà BM = CM

=> \(\frac{AE}{CE}=\frac{AM}{BM}\)     ( 2 )

* Từ ( 1 ) , ( 2 ) => \(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\)

=> DE // BC. ( định lí Ta-lét đảo )

Vậy DE // BC.

b)

Ta có: BM = CM = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)x 6 = 3 (cm)

Ta có: \(\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}\)

=> \(\frac{AD}{AM}=\frac{BD}{BM}=\frac{AD+BD}{AM+BM}=\frac{AB}{AM+BM}\)

=> \(\frac{AD}{5}=\frac{AB}{5+3}=\frac{AB}{8}\)

=> \(\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}\)

Xét tam giác ABC có: DE // BC

=> \(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\) ( hệ quả định lí Ta-lét )

=> \(\frac{DE}{6}=\frac{5}{8}\)

=> DE = 3,75 ( cm ).

Vậy DE = 3,75 cm.

\(S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}+S_{BOC}=a^2+b^2+M\)

\(S_{ABCD}\)nhỏ nhất khi M nhỏ nhất

BĐT Cosi \(\left(S_{AOD}+S_{BOC}\right)^2\ge4\cdot S_{AOD}\cdot S_{BOC}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge S_{AOD}\cdot S_{BOC}\)(*)

Dấu "=" khi và chỉ khi S_AOD=S_BOC

Vì \(\Delta\)AOD và \(\Delta\)AOB có chung đường cao kẻ từ A  => \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{OB}{OD}\left(1\right)\)

Tương tự với \(\Delta COD\)và \(\Delta COB\)=> \(\frac{S_{COB}}{S_{COD}}=\frac{OB}{OD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{S_{COB}}{S_{COD}}\)

\(\Rightarrow S_{AOD}\cdot S_{BOC}=S_{AOB}\cdot S_{COD}=a^2b^2\)

Khi đó (*) => \(\left(\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge a^2b^2\Rightarrow\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{a}\ge2\left|a\right|\left|b\right|\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=a^2+b^2+M\ge a^2+b^2+2\left|a\right|\left|b\right|=\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)

Vậy S_ABCD nhỏ nhất =(|a|+|b|)² <=> S_AOD=S_BOC

BC=20cm

AM=10cm

Tứ giác AMCN là hình vuông

Chu vi AMCN là 40cm

Gọi độ dài quãng đường AB là x ( km )( x > 0 )

Thời gian xe máy đi từ A đến B là : \(\frac{x}{30}\)( h )

Thời gian ô tô đii từ A đến B là : \(\frac{x}{60}\)( h )

Theo đề bài ô tô đến sớm hơn xe máy 1 h nên ta có phương trình :

\(\frac{x}{30}-\frac{x}{60}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x}{60}-\frac{x}{60}=\frac{60}{60}\)

\(\Leftrightarrow2x-x=60\)

\(\Leftrightarrow x=60\left(tmdk\right)\)

Vậy độ dài quãng đường AB là 60 km

Đây chỉ là ý kiến của mk thôi còn tùy bạn tham khảo nhe .

Gọi thời gian của xe máy: x ( giờ)

=> Thời gian của ô tô là x-1 (giờ)

s=v.t => s của xe máy = 30.x (km)

             s của ô tô  = 60 (1-x)  (km) 

       2 xe cùng đi từ A đến B : 30x = 60(1-x)

                                                  => x = 2 ( giờ )

   Vậy quãng đường AB = 30.2 = 60 (km)

Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)với a<b và ƯCLN (a;b)=1

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{a^3}{b+3}=\frac{3a}{b}\Leftrightarrow a^3=3a+\frac{9a}{b}\)

Vì \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow a^3< 3a+9\)

• Nếu a=1 \(\Rightarrow b= -4\frac{2}{9}\)(loại)
• Nếu a=2 => b=9 ta có phân số thỏa mãn \(\frac{a}{b}=\frac{2}{9}\)
• Nếu \(a\ge3\)thì \(a^3\ge3a+9\)(vô lý)

Đáp số \(\frac{a}{b}=\frac{2}{9}\)

Gọi chiều dài hcn là a, chiều rộng hcn là b (a,b>0)

Ta có: 2(a+b)=46  <=> a+b=23 (1)

           (a+1)(b-1)=ab-6

      <=> ab+b-a-1=ab-6

       <=> b-a= -5 <=> a=b+5 (2)

Thay (2) vào (1) ta được:   b+5+b = 23  <=> b=9 => a=14

Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: a.b = 9.14 = 126 (cm²)

Điều kiện \(x\ne2,4\)

\(\frac{x-3+2x-4}{x-2}=\frac{-2}{x-4}\)

\(\frac{3x-7}{x-2}=\frac{-2}{x-4}\)

\(-2x+4=3x^2-12x-7x+28\)

\(3x^2-17x+24=0\)

\(\left(x-3\right)\cdot\left(3x-8\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\frac{3}{8}\end{cases}}\)

ĐK: x \(\ne\)-1; x \(\ne\)2

\(\frac{x+2}{x+1}+\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+1\)

<=> \(\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

<=>  x² - 4 + 3x + 3 = 3 + x² - x - 2

<=> x² + 3x - x² + x = 1 + 1

<=> 4x = 2

<=> x = 1/2

Vậy S = {1/2}