\(4t^2+20t+x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t\right)^2+2.2t.5+x=0\)

Vậy x = \(5^2=25\)

a) P= \(\sqrt{a+1-2\sqrt{a}}-\sqrt{a+16-8\sqrt{a}}\)

 =\(\sqrt{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{a}-4\right)^2}\)

 =\(|\sqrt{a}-1|-|\sqrt{a}-4|\)

 TH1: P= 1 - \(\sqrt{a}\)- 4 + \(\sqrt{a}\)=-3 khi \(0\le a\le1\)

TH2: P= \(\sqrt{a}\)-1 -4+\(\sqrt{a}\)=-5 + \(2\sqrt{a}\) khi \(1\le a\le4\)

TH3 : P=\(\sqrt{a}\)-1 -\(\sqrt{a}\)+4 =3 khi \(a\ge4\)

Vậy ...

Đặt \(u=\frac{bc}{a^2};v=\frac{ca}{b^2};w=\frac{ab}{c^2}\). BĐT quy về:

\(\frac{1}{\sqrt{8u+1}}+\frac{1}{\sqrt{8v+1}}+\frac{1}{\sqrt{8w+1}}\ge1\) với uvw = 1

Đặt \(\sqrt{8u+1}=x;\sqrt{8v+1}=y;\sqrt{8w+1}=z\)

Ta phải chứng minh \(xy+yz+zx\ge xyz\) (*) với \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

Ta có: \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+x^2y^2z^2=513+\Sigma x^2y^2\)

(*) \(\Leftrightarrow\Sigma x^2y^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge x^2y^2z^2\)'

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge513\)

Và rất đơn giản bởi AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:

Có:\(\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)\ge729\sqrt[9]{u^8v^8w^8}=729\)

Nên  \(xyz=\sqrt{\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)}\)

\(\ge\sqrt{729}=27\). Và \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3.9=27;a+b+c\ge9\)

P/s: Bài dài quá em chẳng muốn check lại. Có sai chỗ nào ko ta? Bài này lúc đầu em định uct nhưng ko ra.

Một BĐT mạnh (tổng quát) hơn!

Cho a, b, c > 0 và \(n\ge1\). Chứng minh:

\(\Sigma\frac{a^n}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\frac{1}{3}\left(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}\right)\)

ko bít làm

vãi con lạy thánh mần con dật cả mình