Nugget nghĩ pạn ghi lộn đề! Vì nếu x>0; y>0 -> x=1 và y=1 (giả thiết) thì làm sao x+y=1 được???

Thui Nugget về Kindergarten đây, tạm biệt.

Nếu x=1/2; y=1/2 thì sao ?

Dat \(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)

\(=\left(\frac{1}{x^2}+4\right)+\left(\frac{1}{y^2}+4\right)-8\ge\frac{4}{x}+\frac{4}{y}-8\ge\frac{16}{x+y}-8=8\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vay \(P_{min}=8\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\left(\frac{1}{x^2}+4\right)+\left(\frac{1}{y^2}+4\right)-8\ge\frac{4}{x}+\frac{4}{y}-8\)

\(\ge\frac{16}{x+y}-8=16-8=8\)

Vậy GTNN của bt là 8 \(\Leftrightarrow x=y\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si): \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{1}{a\left(b+c\right).b\left(c+a\right).c\left(a+b\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+ca\right)\left(bc+ab\right)\left(ca+bc\right)}}\)

\(\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

P/s: Check giúp em xem có ngược dấu không:v

Cach khac 

Dat \(\left(ab;bc;ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2\ge3\\xyz\le1\end{cases}}\)

Ta co:

\(A=\frac{1}{ab+b^2}+\frac{1}{bc+c^2}+\frac{1}{ca+a^2}\)

\(=\frac{1}{x+\frac{xy}{z}}+\frac{1}{y+\frac{yz}{x}}+\frac{1}{z+\frac{zx}{y}}\ge\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)

hello

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x-4}-\sqrt{x-1}\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\sqrt{x+4}=\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x+4=x-4+x-1+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-9=0\)

bạn giải nốt nhá

đề dư chỗ "gọi D, K là hình chiếu... AC" 

Có: \(\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{1}{2}AH.BC\)\(\left(=S_{ABC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB.AC}{2R}=AH=\sqrt{2}R\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB.AC}{2\sqrt{2}}=R^2\) ( là scp do R nguyên ) 

hướng dẫn thôi nhé 

Có: \(\left(\frac{16}{\sqrt{x-1996}}+\sqrt{x-1996}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{y-2008}}+\sqrt{y-2008}\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{16}{\sqrt{x-1996}}\sqrt{x-1996}}+2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y-2008}}\sqrt{y-2008}}=8+2=10\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{16}{\sqrt{x-1996}}+\frac{1}{\sqrt{y-2008}}\ge10-\left(\sqrt{x-1996}+\sqrt{y-2008}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{\sqrt{x-1996}}=\sqrt{x-1996}\\\frac{1}{\sqrt{y-2008}}=\sqrt{y-2008}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2012\\y=2009\end{cases}}\)