Ta có công thức tổng quát của dãy số: 

\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Trong đề bài ta có dãy số: \(1\cdot2+2\cdot3+...+99\cdot100\) có \(n=99\)

\(\Rightarrow1\cdot2+2\cdot3+...+99\cdot100=\dfrac{99\cdot\left(99+1\right)\cdot\left(99+2\right)}{3}=333300\)

Trở lại để bài:

\(\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+99\cdot100}{x^2+\left(x^2+1\right)+\left(x^2+2\right)+...+\left(x^2+99\right)}=50\dfrac{116}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{x^2+x^2+1+x^2+2+...+x^2+99}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{\left(x^2+x^2+...+x^2\right)+\left(1+2+3+...+99\right)}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{100x^2+4950}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow6666\left(100x^2+4950\right)=333300\cdot131\)

\(\Rightarrow666600x^2+32996700=43662300\)

\(\Rightarrow666600x^2=10665600\)

\(\Rightarrow x^2=\dfrac{10665600}{666600}\)

\(\Rightarrow x^2=16\)

\(\Rightarrow x^2=4^2\)

\(\Rightarrow x=\pm4\)

a) Xét đường tròn (O) có OM vuông góc với dây cung AC tại M 

\(\Rightarrow\) M là trung điểm AC 

\(\Rightarrow MA=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

Tam giác OCM vuông tại M nên \(OM=\sqrt{OC^2-MC^2}\) \(=\sqrt{5^2-3^2}\) \(=4\left(cm\right)\) 

b) Vì DC là tiếp tuyến tại C của (O) nên \(CD\perp OC\) hay \(\Delta OCD\) vuông tại C

 Xét \(\Delta OCD\) vuông tại C có đường cao CM nên \(DC^2=DM.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Xét đường tròn (O) có đường kính BC nên \(\widehat{BNC}=90^o\) hay \(CN\perp BD\) tại N.

 Xét tam giác BCD vuông tại C có đường cao CN nên \(DC^2=DN.DB\)

 Từ đó suy ra \(DM.DO=DN.DB\left(=DC^2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{DM}{DB}=\dfrac{DN}{DO}\)

 Xét \(\Delta DMN\) và \(\Delta DBO\), có:

 \(\widehat{BDO}\) chung, \(\dfrac{DM}{DB}=\dfrac{DN}{DO}\)

 \(\Rightarrow\Delta DMN~\Delta DBO\left(c.g.c\right)\)

 \(\Rightarrow\widehat{DMN}=\widehat{NBO}\)

Lại có \(\widehat{DMN}+\widehat{NMO}=180^o\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Khối lượng muối có trong 480kg dung dịch A là:

\(8\%\times480=38,4\left(kg\right)\)

Khối lượng muối có trong 320kg dung dịch B là:

\(6\%\times320=19,2\left(kg\right)\)

Tổng khối lượng dung dịch sau khi pha:

\(320+480=800\left(kg\right)\)

Tổng khối lượng muối có trong dung dịch sau khi pha:

\(38,4+19,2=57,6\left(kg\right)\)

Dung dịch mới chứa số phần trăm muối là:

\(57,6:800\times100\%=7,2\%\)

Đáp số: 7,2% 

Thanks nha

a) \(\dfrac{102}{108}=\dfrac{102:6}{108:6}=\dfrac{17}{18}\)

\(\dfrac{25}{100}=\dfrac{25:25}{100:25}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{40}{120}=\dfrac{40:40}{120:40}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{12}{36}=\dfrac{12:12}{36:12}=\dfrac{1}{3}\)

b) \(\dfrac{32}{68}=\dfrac{32:4}{68:4}=\dfrac{8}{17}\) 

\(\dfrac{250}{1000}=\dfrac{250:250}{1000:250}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{24}{94}=\dfrac{24:2}{94:2}=\dfrac{12}{47}\)

\(\dfrac{78}{120}=\dfrac{78:6}{120:6}=\dfrac{13}{20}\)

c) \(\dfrac{64}{128}=\dfrac{64:64}{128:64}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{12}{96}=\dfrac{12:12}{96:12}=\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{14}{56}=\dfrac{14:14}{56:14}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{11}{22}=\dfrac{11:11}{22:11}=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...+994-995-996+997+998

= (1-3+5-7+...+993-995+997) + (2-4+6-8+...994-996+998)

= (-2-2-2-2...-2+997) + (-2-2-2...-2)

= 499 + 500

= 999

Ta sử dụng phương pháp đánh giá

\(\left(x-1\right)^2+5y^2=6\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=6-5y^2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) 

\(\Rightarrow6-5y^2\ge0\forall y\) (vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 thì vế phải cũng vậy) 

\(\Rightarrow5y^2\le6\)

\(\Rightarrow y^2\le1,2\)

Do \(y^2\) là một số nguyên bình phương nên \(\Rightarrow y^2\in\left\{1;0\right\}\Rightarrow y\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Thay \(y=0\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot0^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=6\) (x không có giá trị nguyên) 

Thay \(y=1\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot1^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

TH1: \(x-1=1\Rightarrow x=2\)

TH2: \(x-1=-1\Rightarrow x=0\)

Thay \(y=-1\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot\left(-1\right)^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

TH1: \(x=2\)

TH2: \(x=0\) 

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(0;1\right);\left(2;-1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)

(\(x\) - 1)² + 5y² = 6 Vì 5y²≥ 0 ⇒ (\(x-1\))² ≤ 6 - 0 = 6

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0;y^2=\dfrac{6}{5}\left(ktm\right)\\\left(x-1\right)^2=1;y^2=\dfrac{6-1}{5}=1\\\left(x-1\right)^2=4;y^2=\dfrac{6-4}{5}=\dfrac{2}{5}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là:

(\(x;y\)) = (0; -1); (0; 1); (2; -1); (2; 1)

\(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}\)

\(\dfrac{x^2}{8:x}=\dfrac{y^2}{64:y}=\dfrac{x^2+y^2}{8:x+64:y}=\dfrac{20}{8:x+64:y}\)

\(8:x+64:y\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-5;5;-10;10;-20;20\right\}\)

Bạn kẻ bảng và xét từng trường hợp một, hoặc dùng phương pháp loại trừ để giảm số lượng thử trường hợp, khi đó ta tìm được.

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-4\end{matrix}\right.or\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)

Hiệu chiều dài và chiều rộng:

\(8+4=12\left(m\right)\)

Nửa chu vi là:

\(200:2=100\left(m\right)\)

Từ bài toán, ta có sơ đồ:

Tổng: 100

Chiều rộng: |--------------------------------------------|
                                                                         | 12 m
  Chiều dài: |--------------------------------------------------------|

Chiều dài có độ dài là:

\(\left(100+12\right):2=56\left(\text{m}\right)\)

Chiều rộng có độ dài là:

\(100-56=44\left(\text{m}\right)\)

Đáp số: Chiều dài: \(56\text{m}\)

        Chiều rộng: \(44\text{m}\)

\(1\dfrac{13}{15}\times\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{11}{20}+\dfrac{1}{4}\right):\dfrac{7}{5}\)

\(=\dfrac{28}{15}\times\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{11}{20}+\dfrac{5}{20}\right):\dfrac{7}{5}\)

\(=\dfrac{7}{5}\times1-\dfrac{16}{20}:\dfrac{7}{5}\)

\(=\dfrac{7}{5}-\dfrac{16}{20}\times\dfrac{5}{7}\) 

\(=\left(\dfrac{7}{5}\times\dfrac{5}{7}\right)-\dfrac{16}{20}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{16}{20}\)

\(=1-\dfrac{4}{5}\)

\(=\dfrac{1}{5}\)

Sửa lại, xin lỗi bạn, bạn thông cảm giúp mình nhé!

\(1\dfrac{13}{15}\times\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{11}{20}+\dfrac{1}{4}\right):\dfrac{7}{5}\)

\(=\dfrac{28}{15}\times\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{11}{20}+\dfrac{5}{20}\right)\times\dfrac{5}{7}\)

\(=\dfrac{7}{5}\times1-\dfrac{16}{20}\times\dfrac{5}{7}\)

\(=\dfrac{7}{5}-\dfrac{80}{140}\)

\(=\dfrac{7}{5}-\dfrac{4}{7}\)

\(=\dfrac{49}{35}-\dfrac{20}{35}\)

\(=\dfrac{29}{35}\)