PT\(\Leftrightarrow x^3+2x=\left(2x-1\right)+2\sqrt[3]{2x-1}\)

Đặt \(\sqrt[3]{2x-1}=a\Rightarrow x^3+2x=a^3+2x\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x^2+ax+a^2+2\right)=0\\x-a=0\end{cases}}\)

dễ thấy phương trình đầu tiên là vô nghiệm

xét \(x=a\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2x-1}\Leftrightarrow x^3=2x-1\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

ĐK: \(x\inℝ\). Đặt \(a=\sqrt{x^2+1};b=\sqrt{x^2+2x+3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a>0,b>0\\x^2+4x+5=2b^2-a^2\end{cases}}\)

pt: \(a+2b\ge3\sqrt{2b^2-a}\Leftrightarrow10a^2+4ab-14b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(10a+14b\right)\ge0\Leftrightarrow a\ge b\)

Với \(a\ge b\)ta có: \(\sqrt{x^2+1}\ge\sqrt{x^2+2x+3}\Leftrightarrow x\le-1\)

Vậy tập nghiệm của pt là: \(S=\left(-\infty;-1\right)\)

Đặt pt là (1)

\(\text{Đ}K\hept{\begin{cases}\frac{3x-1}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{3x-1}{x}>0\left(2\right)\\\frac{x}{3x-1}c\text{ó}ngh\text{ĩa}\end{cases}}\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{3x-1}{x}}>0\Rightarrow t^2=\frac{3x-1}{x};\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{t^2}\)

Do đó \(\left(1\right)\Rightarrow2t=\frac{1}{t^2}+1=\frac{t^2+1}{t^2}\)\(\Leftrightarrow2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(2t^2+t+1\right)=0\Leftrightarrow t-1=0\)

( do pt 2t²+t+1=0 vô nghiệm . vì \(\Delta=1-4.2-7< 0\)) => t=1 (thỏa (2))