Ta có \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

= \(\frac{2-1}{2}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{2^3-1}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

= \(1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{2^3}+...+1-\frac{1}{2^{100}}\)

\(=\left(1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)(100 hạng tử 1)

\(=100-\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)=100-1+\frac{1}{2^{100}}=99+\frac{1}{2^{100}}>99\)(đpcm)

a) Xét tg ACE và AKE có :

AE-chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\left(gt\right)\)

\(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^o\)

=> Tg ACE=AKE

=> AC=AK

CE=Ek

=> AE là đường trung trực của CK

=> CK vuông góc AE (đccm)

b) Tg ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+90^o+60^o=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAE}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{60^o}{2}=30^o\)

=> Tg AEB cân tại E

\(EK\perp AB\)

\(\Rightarrow AK=KB=\frac{AB}{2}\) (t/c các đường trong tg cân)

Mà AK=AC (cmt)

\(\Rightarrow AC=\frac{AB}{2}\Rightarrow2AC=AB\left(đccm\right)\)

c) Xét tg KEB vuông tại K có KB<EB (cgv<ch)

Mà KB=KA=AC

=> AC<EB (đccm)

d) Tự cm nốt :)))

#H

\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\)

Do đó ta có đpcm.