Ta chứng minh:\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Khi đó:\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\le16\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le16\Rightarrow-4\le a+b\le4\Rightarrowđpcm\)

\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:

\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Vậy..................

Xét m,n có 1 số chia hết cho 5 thì A \(⋮\)5

Xét m,n  đều không chia hết cho 5

Ta có : với a \(⋮̸\)5 thì a có dạng : \(5k\pm1;5k\pm2\)

\(\Rightarrow a^4=\left(5k\pm1\right)^4=B\left(5\right)+1\)chia 5 dư 1

\(a^4=\left(5k\pm2\right)^4=B\left(5\right)+16=B\left(5\right)+1\)chia 5 dư 1

từ đó suy ra \(m^4\)chia 5 dư 1 ; \(n^4\)chia 5 dư 1

\(\Rightarrow m^4-n^4\)chia hết cho 5

\(\Rightarrow A⋮5\)

Vậy ....

Ta có: \(A=mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\)

Xét \(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a^2-1\right)⋮5\)với mọi a nguyên bất kì

=> \(nm\left(m^4-1\right)=n\left[m\left(m^4-1\right)\right]⋮5\)với m nguyên 

\(nm\left(m^4-1\right)=m\left[n\left(n^4-1\right)\right]⋮5\)với n nguyên 

=> \(A=mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\) chia hết cho 5.

\(\frac{x}{2x-3}-\frac{5}{x}=\frac{-1}{2x^2-3x}\)

\(< =>\frac{x^2}{2x^2-3x}-\frac{10x-15}{2x^2-3x}=\frac{-1}{2x^2-3x}\)

\(< =>x^2-10x+15=-1\)

\(< =>x^2-10x+16=0\)

Ta có : \(\Delta=100-4.16=100-64=36\)

nên phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt

 \(x_1=\frac{10+\sqrt{36}}{2}=\frac{10+6}{2}=8\)

\(x_2=\frac{10-\sqrt{36}}{2}=\frac{10-6}{2}=2\)

vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là {2;8}

\(\frac{x}{2x-3}-\frac{5}{x}=\frac{-1}{2x^2-3x}\) ĐKXĐ : \(x\ne0;\frac{3}{2}\)

\(\frac{2x}{x\left(2x-3\right)}-\frac{5\left(2x-3\right)}{x\left(2x-3\right)}=\frac{-1}{2x^2-3x}\)

\(\frac{2x}{2x^2-3x}-\frac{10x-15}{2x^2-3x}=\frac{-1}{2x^2-3x}\)

Khử mẫu ta đc ; \(2x-10x-15=-1\)

\(-12x=14\Leftrightarrow x=-\frac{7}{6}\)(tm)