Có đk gì thêm về a, b, c ko ạ?(VD như a, b, c >0)

Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Nên ta cần CM \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge a^3+b^3+c^3\)

Theo đề bài ta có

\(a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)=> \(a^3\le3a^2-2a\)

Tương tự với b,c => \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\)=> \(ab\ge2\left(a+b\right)-4\)

Tương tự => \(ab+bc+ac\ge4\left(a+b+c\right)-12\)

Khi đó BĐT <=>

\(a^2+b^2+c^2+4\left(a+b+c\right)-12\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(3\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6\)

<=>\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(b-1\right)\left(b-2\right)+\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)(luôn đúng với giả thiết)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;2\right),\left(2;2;1\right),....\)và các hoán vị

Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Nên \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a^3+b^3+c^3\)

Ta có \(a\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le3a^2-2a\)

Tương ta ta có: \(b^3\le3b^2-2b;c^3\le3c^2-2c\)

Cộng từng vế của các bđt trên: \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)

Đặt \(\)\(K=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)

Ta lại có 

\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le3a-2\)

Tương tự \(b^2\le3b-2;c^2\le3c-2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\left(a+b+c\right)-6\)(1)

\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge2a+2b-4\)

Tương tự \(bc\ge2b+2c-4;ca\ge2c+2a-4\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge4\left(a+b+c\right)-12\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K\le6\left(a+b+c\right)-12-2\left(a+b+c\right)\)

\(-\left[4\left(a+b+c\right)-12\right]=0\)

\(K\le0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

hay \(\text{Σ}_{cyc}a^2+\text{Σ}_{cyc}ab+3\text{Σ}_{cyc}\left(a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left(2;2;1\right)\)và các hoán vị hoặc \(a=b=c=2\)

=>(\(\frac{b-2\sqrt{b}+1-1}{2-\sqrt{b}}\)+\(\sqrt{5}\)).\(\frac{b+2\sqrt{b}+1-1}{\sqrt{b}+2}\) =5-b
=>(\(\frac{\left(\left(\sqrt{b}\right)-1-1\right)\left(\left(\sqrt{b}\right)-1+1\right)}{2-\sqrt{b}}\)+\(\sqrt{5}\)).\(\frac{\left(\left(\sqrt{b}\right)+1-1\right)\left(\left(\sqrt{b}\right)+1+1\right)}{2+\sqrt{b}}\)=5-b
=>(\(\frac{\left(\left(\sqrt{b}\right)-2\right)\left(\sqrt{b}\right)}{2-\sqrt{b}}\)+\(\sqrt{5}\)) .\(\frac{\left(\sqrt{b}\right)\left(\left(\sqrt{b}\right)+2\right)}{2+\sqrt{b}}\)=5-b
=>(\(-\sqrt{b}+\sqrt{5}\)) \(\sqrt{b}\).=5-b

Có số đo gấp đôi góc còn lại nha! Ghi nhầm

Cách của mình:

Cho tam giác ABC có AB=n-1 AC=n và BC=n+1

Điều kiện: n>2

và \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\)

TH1: \(\widehat{A}=2\widehat{C}\)

tam giác ABC có: \(\frac{n+1}{sinA}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{sin2C}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{2\cdot cosC\cdot sinC}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{2\cdot cosC}=n-1\)

\(\Rightarrow2\cdot cosC=\frac{n+1}{n-1}\)(1)

Đồng thời theo hệ thức Cosin:

\(n^2+\left(n+1\right)^2-2n\left(n+1\right)\cdot cosC=\left(n-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\cdot cosC=n^2+4n=\frac{n\left(n+4\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n+4}{n+1}\)(2)

Từ (1) và (2):

Suy ra: n=5(thỏa)

Suy ra tam giác có cạnh là 4;5;6

Xét tiếp TH2: \(\widehat{A}=2\widehat{B}\)

TH3: \(\widehat{B}=2\widehat{C}\)

Cần 1 cách hay khác! Cảm ơn!

bạn y nhân tạo của mũ a rồi cộng vào là ra được kết quả thôi mình thấy dễ mà

Trả lời :

Bn Lê Thanh Vân bn y ở đâu ra ??

- Hok tốt !

^_^