Bài làm:

Bài 1:

Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)\(\ge0+2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}+14=2+14=16\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\4x^2=\frac{1}{4x^2}\end{cases}\Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(Min\left(T\right)=16\)khi \(x=\frac{1}{2}\)

Bài 2:

Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\left(1\right)\)

Ta xét \(\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(c^2+a^2\right)-c^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b\)và \(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)

Cộng vế 3 bất đẳng thức trên lại ta được:

\(P\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\left(theo\left(1\right)\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)

Vậy \(Min\left(P\right)=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)

Học tốt!!!!

 

Bài làm:

Gọi \(x\) là số kg nước đang sôi \(\left(x< 6\right)\)

=> \(6-x\)là số kg nước đá 10 độ C

Ta có nhiệt dung riêng của nước 4200J/kg.k ; nước sôi ở 100 độ C và giả sử không có sự bốc hơi nước

Ta có phương trình cân bằng nhiệt:

\(Q_{toa}=Q_{thu}\)

\(\Leftrightarrow m_1.c_{H_2O}.\Delta t_1=m_2.c_{H_2O}.\Delta t_2\)

\(\Leftrightarrow x.4200.\left(100-30\right)=\left(6-x\right).4200.\left(30-10\right)\)

\(\Leftrightarrow294000x=504000-84000x\)

\(\Leftrightarrow378000x=504000\)

\(\Rightarrow x=\frac{4}{3}\left(kg\right)\approx1,33\left(kg\right)\)

Số kg nước lạnh là: \(6-1,33=4,67\left(kg\right)\)

Vậy cần đổ khoảng 1,33kg nước đang sôi vào 4,67kg nước lạnh ở 10 độ C để thu được 6 lít nước ở nhiệt độ 30 độ C

Học tốt!!!!
 

Ở đoạn cuối mình kết luận nhầm phải là 30kg nước ở nhiệt độ 30 độ C nhé!

\(CMR\) \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

                                           A B C H M D

a) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta HBA\)có: 

\(\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o\)

chung \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)đồng dạng với \(\Delta HBA\)

gọi vận tốc dự định đi quãng đường AB = x km/giờ (x>0) 
thời gian dự định đi quãng đường AB = 60/x 
--> vận tốc đi nửa đường đầu (đi 30km đầu) = x + 10 
thời gian đi nửa đường đầu = 30/(x + 10) 
--> vận tốc đi nửa đường sau (đi 30 km sau) = x - 6 
thời gian đi nửa đường sau = 30/(x -6) 
Theo đề ta có 
30/(x + 10) + 30/(x - 6) = 60/x 
1/(x + 10) + 1/(x - 6) = 2/x 
x(x-6) + x(x+10) = 2(x-6)(x+10) 
x^2 - 6x + x^2 +10x = 2(x^2 + 4x - 60) 
2x^2 + 4x = 2x^2 + 8x - 120 
4x = 120 
x = 30 (thỏa) 
Vậy thời gian dự định đi quãng đường AB là t = 60/x = 60/30 = 2 giờ