Áp dụng BĐT AM - GM : \(ab< \frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+ab+b^2\le\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2}{3}.\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\)

Mà cũng theo BĐT AM - GM : \(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế :

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)+\frac{2}{3}\left(b-\frac{c}{2}\right)\) \(+\frac{2}{3}\left(c-\frac{a}{2}\right)\)

Ta có đpcm 

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Đỗ Tiến Dũng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(10x^2+3x+1=\left(6x+1\right)\sqrt{x^2+3}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+3}=t\left(t\ge\sqrt{3}\right)\)

\(pt\Leftrightarrow10x^2+3x+1-\left(6x+1\right)t=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(6x+1\right)t+10x^2+3x+1-x^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(6x+1\right)t+9x^2+3x-2=0\)

\(\Delta=\left(6x+1\right)^2-4\left(9x^2+3x-2\right)=36x^2+12x+1-36x^2-12x+8=9\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=3\)

Dùng công thức nghiệm mà giải,số đẹp r đó

Câu hỏi của FF_ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

mình vừa kiểm tra phần này lun nè

Giúp mình với