Fermat nhỏ??? xem lại dùm 

????????

Gọi điểm cố định mà đường thẳng đã cho luôn đi qua là ( \(\left(x_0;y_0\right)\))

Ta cần tìm \(x_0,y_0\) để chứng mình điểm cố định tồn tại 

Ta thấy :
\(y_0=\left(m+4\right)x_0-m+6,\forall m\)

\(\Leftrightarrow mx_0+4x_0-m+6-y_0=0,\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+\left(4x_0+6-y_0\right)=0,\forall m\)

Điều này xảy ra khi 

\(\hept{\begin{cases}x_0-1=0\\4x_0+6-y_0=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=1\\y_0=10\end{cases}}}\)

Vậy đường thẳng \(y=\left(m+4\right)x-m+6\) luôn đi qua điểm cố định \(\left(1,10\right)\) khi m thay đổi 

Ta có :

       2.C = \(2.x+2.y+\frac{4}{x}=\left(x+2.y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)\ge8+2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=12\)

=>  \(C\ge12\)

Dấu " = "   <=>  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

Đang lướt câu hỏi của bạn thì thấy câu này hay tiện tay làm luôn :D

\(b^4+c^4=\frac{3b^4+c^4}{4}+\frac{3c^4+b^4}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{\left(b^4\right)^3\cdot c^4}}{4}+\frac{4\sqrt[4]{\left(c^4\right)^3b^4}}{4}=b^3c+c^3b\)

\(=bc\left(b^2+c^2\right)=\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)=\frac{b^2+c^2}{a}\)

\(\Rightarrow a+b^4+c^4\ge a+\frac{b^2+c^2}{a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Thiết lập các BĐT tương tự,khi đó:

\(A\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

ĐK: \(x\ge1\)

Đặt \(\left(\sqrt{x+1};\sqrt{x-1}\right)=\left(a;b\right)\)\(\left(a,b\ge0\right)\)

pt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2-3=\frac{1}{a-b}=\frac{a+b}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{x+1-x+1}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-6=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a+b=\frac{-3}{2}\left(loai\right)\\a+b=2\left(nhan\right)\end{cases}}\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{5}{4}\) ( nhận ) 

\(ĐKXĐ:x\ge1\)

Nhân cả tử và mẫu của vế phải với liên hợp của nó được 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2-3=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}{2}\)

Đặt : \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=a>0\)

\(\Rightarrow a^2-3=\frac{a}{2}\Rightarrow2a^2-a-6=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=-\frac{3}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}=2-x\) ( \(x\le2\) )

\(\Leftrightarrow x^2-1=x^2-4x+4\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{4}\)

\(x^2y^2+1\ge2xy;y^2z^2+1\ge2yz;z^2x^2+1\ge2zx\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(xy+yz+zx\right)-3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)-3\le6\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\le6\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)