\(B=\frac{5x}{x+2}-\frac{3x-23}{x-2}+\frac{40}{4-x^2}\)

a) ĐKXĐ : \(x\ne\pm2\)

\(B=\frac{5x}{x+2}-\frac{3x-23}{x-2}+\frac{40}{4-x^2}\)

\(B=\frac{5x}{x+2}-\frac{3x-23}{x-2}-\frac{40}{x^2-4}\)

\(B=\frac{5x}{x+2}-\frac{3x-23}{x-2}-\frac{40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(B=\frac{5x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{\left(3x-23\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(B=\frac{5x^2-10x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{\left(3x^2-17x-46\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(B=\frac{5x^2-10x-\left(3x^2-17x-46\right)-40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(B=\frac{5x^2-10x-3x^2+17x+46-40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(B=\frac{2x^2+7x+6}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(2x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{2x+3}{x-2}\)

b) x² - 1 = 0 <=> x² = 1 <=> x = ±1

Với x = 1 

\(B=\frac{2\cdot1+3}{1-2}=-5\)

Với x = -1

\(B=\frac{2\cdot\left(-1\right)+3}{\left(-1\right)-2}=-\frac{1}{3}\)

Khi x = 1

=> f(x) = f(1) = a + b 

=> f(x - 1) = f(0) = 0

=> f(x) - f(x- 1) =  f(1) - f(0) = a + b - 0 = 1

=> a + b = 1 (1)

Khi x = - 1

=> f(x) = f(-1) = a - b 

=> f(x - 1) = f(- 2) = 4a - 2b

=> f(x) - f(x - 1) = f(-1) - f(- 2) =  a - b - (4a - 2b) 

=> a - b - 4a + 2b = - 1

=> -3a + b = -1 (2)

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta có 

(a + b) - (- 3a + b) = 1 - (-1)

=> a + b + 3a - b = 2

=> 4a = 2

=> a = 0,5

=> b = 0,5

Vậy a = 0,5 ; b = 0,5

a) P = 2x² - x⁴ + 2

        = -x⁴ + 2x² + 2

Đặt t = x² ( t ≥ 0 )

Khi đó P trở thành : 

-t² + 2t + 2

= -t² + 2t - 1 + 3

= -( t² - 2t + 1 ) + 3

= -( t - 1 )² + 3 

( t - 1 )² ≥ 0  ∀ x => -( t - 1 )² ≤ 0  ∀ x

=> -( t - 1 ) + 3 ≤ 3  ∀ x

Dấu bằng xảy ra <=> t - 1 = 0 => t = 1 ( tmđk )

Với t = 1 => x² = 1 

               => x = ±1

Vậy P_Max = 3 với x = ±1

b) Q = x - x² 

        = -x² + x

        = -( x² - x )

        = -[ x² - 2.1/2x + (1/2)² ] + 1/4

        = -( x - 1/2 )² + 1/4 

( x - 1/2 )² ≥ 0  ∀ x => -( x - 1/2 )² ≤ 0  ∀ x

=> -( x - 1/2 )² + 1/4 ≤ 1/4  ∀ x

Dấu bằng xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

Vậy Q_Max = 1/4 khi x = 1/2

c) M = 2x - x² - 2020

        = -x² + 2x - 2020

        = -x² + 2x - 1 - 2019

        = -( x² - 2x + 1 ) - 2019

        = -( x - 1 )² - 2019

( x - 1 )² ≥ 0  ∀ x => -( x - 1 )² ≤ 0  ∀ x

=>  -( x - 1 )² - 2019 ≤ -2019  ∀ x

Dấu bằng xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

Vậy M_Max = -2019 khi x = 1

d) N = 2x - 2x² - 3

        = -2x² + 2x - 3

        = -2( x² - x + 1/4 ) - 5/2 

        = -2( x - 1/2 )² - 5/2

( x - 1/2 )²  ≥ 0  ∀ x => -2( x - 1/2 )²  ≤ 0  ∀ x

=>  -2( x - 1/2 )² - 5/2  ≤ -5/2  ∀ x

Dấu bằng xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2 

Vậy N_Max = -5/2 khi x = 1/2

a) \(\sqrt{12-3\sqrt{15}}\)

\(=\sqrt{\frac{3}{2}\left(8-2\sqrt{15}\right)}\)

\(=\sqrt{\frac{3}{2}\left(5-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+3\right)}\)

\(=\sqrt{\frac{3}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{6}}{2}.\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\)

\(=\frac{\sqrt{6}}{2}.\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\) 

(y - 0,5)⁴ + (y + 0,5)⁴ = 1

<=> (y - 0,5)⁴ + (y - 0,5 + 1)⁴ = 1

Đặt y - 0,5 = a

<=> a⁴ + (a + 1)⁴ = 1

<=> a⁴ + a⁴ + 4a³ + 6a² + 4a + 1 = 1

<=> 2a⁴ + 4a³ + 6a² + 4a = 0

<=> 2a(a³ + 2a² + 3a + 2) = 0

<=> a(a³ + a² + a² + a + 2a + 2) = 0

<=> a(a + 1)(a² + a + 2) = 0

<=> a(a + 1) = 0 (vì a² + a + 2 = (a² + a + 1/4) + 7/4 = (a + 1/2)² + 7/4  > 0)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=0\\a+1=0\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}a=0\\a=-1\end{cases}}\)

Với a = 0 => y - 0,5 = 0 <=> y = 0,5

Với a = -1 => y - 0,5 = -1 <=> y = -0,5

Vậy S = {0,5; -0,5}

Ta có: xy = ab <=> \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\)(a; y \(\ne\)0)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}=k\) => \(\hept{\begin{cases}x=ak\\b=yk\end{cases}}\)(*)

Khi đó: x + y = a + b <=> ak + y = a + yk

<=> ak - a + y - yk = 0

<=> a(k - 1) - y(k - 1) = 0

<=> (a - y)(k - 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=y\\k=1\end{cases}}\)

Với a = y => b = x

<=> aⁿ = yⁿ  (1) và bⁿ = xⁿ (2) (x \(\in\)N)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế : aⁿ + bⁿ = yⁿ + xⁿ

Với k = 1 thay vào (*) => \(\hept{\begin{cases}x=a\\b=y\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x^n=a^n\\y^n=b^n\end{cases}}\) => xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ

=> đpcm

Áp dụng BĐT svacsơ: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac - xơ ta có : 

\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\)(đpcm)

Cậu chỉ cần đổi đề bài thành tìm a,b sao cho A là số nguyên là được.

Link chứng minh điều đó ở đây 

https://diendantoanhoc.net/topic/71455-cho-ab-nguyen-d%C6%B0%C6%A1ng-ch%E1%BB%A9ng-minh-afraca2b2ab1-la-s%E1%BB%91-chinh-ph%C6%B0%C6%A1ng-n%E1%BA%BFu-a-nguyen/

Gắt vậy :) IMO 1988 :) vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh 

Bài làm:

a) \(A=\left(x^2-x\right)\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(=\left[x\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]=\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)\)

Đặt \(x^2+x-1=t\)\(\Rightarrow A=\left(t-1\right)\left(t+1\right)=t^2-1\ge-1\left(\forall t\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(t^2=0\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=0\\x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}}\)

b) Ta có: \(B=x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2=\left[x^4+2x^2\left(x-2\right)^2+\left(x-2\right)^4\right]+4x^2\left(x-2\right)^2\)

\(=\left[x^2+\left(x-2\right)^2\right]^2+\left[2x\left(x-2\right)\right]^2\ge2\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Phần b hơi sai sai nên bn xem phần a thôi nhé

Sửa lại câu b 

\(B=x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2\)

\(=x^4+x^4-8x^3+24x^2-32x+16+6x^4-24x^3+24x^2\)

\(=8x^4-32x^3+48x^2-32x+16\)

\(=8\left(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\right)+8\)

\(=8\left(x-1\right)^4+8\ge8\)

=> min B = 8 tại x = 1