\(4\left(x+1\right)^2=\sqrt{2\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow16\left(x+1\right)^4=2\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)\left(7x^2+11x+7\right)=0\)

\(\sqrt{\frac{x+56}{16}+\sqrt{x-8}}=\frac{x}{8}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+56+16\sqrt{x-8}}=x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(\sqrt{x-8}+8\right)^2}=x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-8}+16=x\)

\(\Leftrightarrow x=24\)

GE≤GM+ME=12CD+12AB=AB+CD2GE≤GM+ME=12CD+12AB=AB+CD2

Dấu "=" xảy ra ⇔⇔ Ba điểm M, G, E thẳng hàng.

⇔⇔ GE // AB và GE // CD ⇔⇔ AB // CD

⇔⇔ Tứ giác ABCD là hình thang.

\(Q=\Sigma\frac{x^2}{xy^2z}+\frac{x^5}{y}+\frac{y^5}{z}+\frac{z^5}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+4\sqrt[4]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}.\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\)

\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+2xyz-\frac{1}{16}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+32xyz+32xyz-62xyz-\frac{1}{16}\)

\(\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}.32^2\left(xyz\right)^2}-\frac{62}{27}\left(x+y+z\right)^3-\frac{1}{16}=20-\frac{31}{4}-\frac{1}{16}=\frac{195}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Câu hỏi của Nguyễn Trung Hiếu - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của hoàng thị huyền trang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Do \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Rightarrow a^2\le a+2\)

Tương tự:

\(b^2\le b+2;c^2\le c+2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge0\) vì \(a^2+b^2+c^2=6\)

Trình bày khác Cool Kid xíu!

\(a+b+c=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)+\Sigma_{cyc}\left(a^2-2\right)\)

\(=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)\ge0\) vì \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và các hoán vị.