\(\frac{4}{9}x^2-4x+5=\frac{4}{9}x^2-2\cdot\frac{2}{3}x\cdot3+3^2-4=\left(\frac{2}{3}x-3\right)^2-4\)

\(\left(\frac{2}{3}x-3\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(\frac{2}{3}x-3\right)^2-4\ge-4\)

Đến chỗ này bạn xem lại đề nhé ;-; Luôn dương đâu -.- 

ok bạn nhé đề bị sai đó :))))

phải là tìm các số x,y,z thỏa mãn chứ bạn

VÌ:    \(x^3+y^3+1-3xy=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\)

Do:    \(x^3+y^3+1-3xy\)   là 1 số nguyên tố

=>   \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\)    là 1 số nguyên tố.

Do:   \(x+y+1>1\left(x,y\inℕ^∗\right)\)

=>   \(x^2+y^2-xy-x-y+1=1\)

<=> \(2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=2\)

<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)

Do:   \(\left(x-y\right)^2;\left(x-1\right)^2;\left(y-1\right)^2\)    đều là các số chính phương.

=> Ta xét 3 trường hợp sau: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\)   ;     \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\)    ;       \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\)

Do: x; y thuộc N* 

=> vs TH1 được: \(x=y=2\)

THỬ LẠI THÌ: \(x^3+y^3+1-3xy=8+8+1-12=5\)       (CHỌN)

TH2; TH3 tương tự ra       \(x=1;y=2\)   và     \(x=2;y=1\)

THỬ LẠI        \(\orbr{\begin{cases}x^3+y^3+1-3xy=1^3+2^3+1-3.1.2=4\\x^3+y^3+1-3xy=2^3+1^3+1-3.2.1=4\end{cases}}\)             (ĐỀU LOẠI HẾT).

VẬY \(x=y=2\)     là nghiệm duy nhất.

khai triển và rút gọn 2 vế ta được x(x+1)=y⁴+2y³+3y²+2y

<=> x(x+1)=y²(y+1)²+2y(y+1)

<=> x²+x+1=(y²+y+1)² (1)

nếu x>0 thì từ x²<x²+x+1<(x+1)² => (1) không có nghiệm nguyên x>0

nếu x=0 hoặc x=-1 thì từ (1) => y²+y+1 = \(\pm\)1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

ta có nghiệm (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

nếu x<-1 thì từ (x+1)²<x²+x+1<x²

=> (1) không có nghiệm nguyên x<-1

tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

a) 3( x - y ) - 5x( y - x )

= 3( x - y ) - 5x[ -( x - y ) ]

= 3( x - y ) + 5x( x - y )

= ( 3 + 5x )( x - y )

b) x³ + 2x²y + xy² - 9x

= x( x² + 2xy + y² - 9 )

= x[ ( x + y )² - 3² ]

= x( x + y - 3 )( x + y + 3 )

c) 14x²y - 21xy² + 28x²y²

= 7xy( 2x - 3y + 4xy )

                                              Bài giải

\(a,\text{ }3\left(x-y\right)-5x\left(y-x\right)\)

\(=3\left(x-y\right)+5x\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(3+5x\right)\)

\(b,\text{ }x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)

\(=x\left[\left(x+y\right)^2-3^2\right]\)

\(=x\left(x+y+3\right)\left(x+y-3\right)\)

\(c,\text{ }14x^2y-21xy^2+28x^2y\)

\(=7xy\left(2x-3y+4x\right)\)

\(=7xy\left(6x-3y\right)\)

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+...+\frac{1}{\left(x+2019\right)\left(x+2020\right)}\) 

( ĐKXĐ : \(x\ne\left\{0;-1;-2;...;-2019;-2020\right\}\))

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)}-\frac{1}{\left(x+3\right)}+...+\frac{1}{\left(x+2019\right)}-\frac{1}{\left(x+2020\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2020}\)

\(=\frac{x+2020}{x\left(x+2020\right)}-\frac{x}{x\left(x+2020\right)}\)

\(=\frac{x+2020-x}{x\left(x+2020\right)}\)

\(=\frac{2020}{x\left(x+2020\right)}\)

                                                           Bài giải

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+...+\frac{1}{\left(x+2019\right)\left(x+2020\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+...+\frac{1}{x+2019}-\frac{1}{x+2020}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2020}\)

\(=\frac{x+2020}{x\left(x+2020\right)}-\frac{x}{x+2020}=\frac{2020}{x\left(x+2020\right)}\)

                                                            Bài giải

\(\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}\)

\(=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{y-z}+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{z-x}+\frac{1}{z-x}-\frac{1}{x-y}\)

\(=0\)

\(\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}\)

\(=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{y-z}+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{z-x}+\frac{1}{z-x}-\frac{1}{x-y}\)

\(=0\)

\(=\frac{x-12}{6\left(x-6\right)}-\frac{6}{x\left(x-6\right)}\)

\(=\frac{x^2-12x-36}{6x\left(x-6\right)}\)

\(=\frac{\left(x-6-6\sqrt{2}\right)\left(x-6+6\sqrt{2}\right)}{6x\left(x-6\right)}\)

\(\frac{x-12}{6x-36}-\frac{6}{x^2-6x}=\frac{\left(x-12\right)\left(x^2-6x\right)}{\left(6x-36\right)\left(x^2-6x\right)}-\frac{6\left(6x-36\right)}{\left(x^2-6x\right)\left(6x-36\right)}\)

\(=\frac{x^3-6x^2-12x^2+72x}{\left(6x-36\right)\left(x^2-6x\right)}-\frac{36x-216}{\left(x^2-6x\right)\left(6x-36\right)}\)

\(=\frac{x^3-18x^2+72x-36x+216}{\left(6x-36\right)\left(x^2-6x\right)}=\frac{x^3-18x^2+36x+216}{\left(6x-36\right)\left(x^2-6x\right)}\)

\(\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}\)

\(=\frac{7x+6}{2x^2+14x}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}=\frac{7x+6-3x-6}{2x^2+14x}\)

\(=\frac{4x}{2x^2+14x}=\frac{2\cdot2x}{2\left(x^2+7x\right)}=\frac{2x}{x\left(x+7\right)}=\frac{2}{x+7}\)

\(\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}\)( ĐKXĐ : \(x\ne0;x\ne-7\))

\(=\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x\left(x+7\right)}\)

\(=\frac{7x+6-\left(3x+6\right)}{2x\left(x+7\right)}\)

\(=\frac{7x+6-3x-6}{2x\left(x+7\right)}\)

\(=\frac{4x}{2x\left(x+7\right)}=\frac{2x\cdot2}{2x\left(x+7\right)}=\frac{2}{x+7}\)

\(=\frac{6x-3}{x}.\left(\frac{3x^2}{4x^2-1}\right)\)

\(=\frac{9x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}.\left(\frac{2x-1}{1}\right)\)

\(=\frac{9x}{2x+1}\)

Bài làm 

\(\frac{6x-3}{x}:\frac{4x^2-1}{3x^2}=\frac{6x-3}{x}.\frac{3x^2}{4x^2-1}\)

\(=\frac{18x^3-9x^2}{4x^3-x}\)

Bài làm 

\(\frac{x^2-9}{2x+6}:\frac{3-x}{2}=\frac{x^2-9}{2x+6}.\frac{2}{3-x}\)

\(=\frac{2x^2-18}{6x-2x^2+18-6x}=\frac{2x^2-18}{-2x^2+19}=1\)