Hướng dẫn:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}\left(2\right)\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)

ĐK: \(x;y;z;x+y;y+z;z+x\ne0\)

TH1: x + y + z = 0

=>  y + z = - x

thế vào (1); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{-x}=\frac{1}{2}\)vô lí

TH2: x + y + z \(\ne\)0.

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y+z}{xy+xz}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{yz+xy}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{xz+yz}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{xy+xz}{x+y+z}=2\\\frac{yz+xy}{x+y+z}=3\\\frac{xz+yz}{x+y+z}=4\end{cases}}\)

Đặt : x + y + z = k

=> \(\hept{\begin{cases}xy+xz=2k\left(4\right)\\yz+xy=3k\left(5\right)\\xz+yz=4k\left(6\right)\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{2}k\\yz=\frac{5}{2}k\\xz=\frac{3}{2}k\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2xy=k\\\frac{2yz}{5}=k\\\frac{2xz}{3}=k\end{cases}}\)

Trừ vế theo vế:

=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{z}{5}\\\frac{y}{5}=\frac{x}{3}\\\frac{z}{3}=y\end{cases}}\)<=> \(z=3y=5x\)thế vào (1)  rồi tìm x; y ; z.

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\)

<=> \(\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{23}{10}\)

khi đó: \(y=\frac{5x}{3}=\frac{23}{6};z=5x=\frac{23}{2}\)thử lại thỏa mãn.

Chào bạn. Trên là các phương trình chương trình THPT. Bạn vào hỏi đáp h để được các bạn học cùng cấp giúp nhé!

\(\sqrt{x+5}=5-x^2\)
\(\sqrt{x+5}=\left(\sqrt{x}+5\right).\left(\sqrt{x}-5\right)\)
\(\sqrt{x}-5=1\)
\(\sqrt{x}=6\)
x=36

\(x^2+\sqrt{x+5}=5\)

\(ĐKXĐ:x\ge-5\)

Đặt \(\sqrt{x+5}=a\left(a\ge0\right)\)

Ta có hpt:\(\hept{\begin{cases}x^2+a=5\\a^2-x=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2+a+x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+x\right)\left(x-a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-x\\x=a-1\end{cases}}\)(Lm tiếp nha bn)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4}\\x^4+y^2+xy\left(1+2x\right)=\frac{-5}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4}\\x^4+2x^2y+y^2+xy=\frac{-5}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y+xy\left(x^2+y\right)+xy=\frac{-5}{4}\left(1\right)\\\left(x^2+y\right)^2+xy=\frac{-5}{4}\left(2\right)\end{cases}}}\)

Đặt x² + y = a ; xy = b

Khi đó hệ phương trình trở thành : \(\hept{\begin{cases}a+ab+b=\frac{-5}{4}\\a^2+b=\frac{-5}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a+ab-a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b-a+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+y=0\\xy-\left(x^2+y\right)+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}y=-x^2\\x^2+y=xy+1\end{cases}}}\)

với y = -x² thay vào ( 2 ), ta có : x . ( -x² ) = \(\frac{-5}{4}\)\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\Rightarrow y=-\sqrt[3]{\frac{25}{16}}\)

với x² + y = xy + 1 \(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)-\left(xy-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1-y\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=y-1\end{cases}}\)từ đó suy ra \(y=\frac{-3}{2}\)

Vậy ....

xem lại dấu ở PT thứ 2

ĐK : ...

\(\hept{\begin{cases}2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\left(1\right)\\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có : ( 1 ) \(\Leftrightarrow2y+6y^2=x-y\sqrt{x-2y}\Leftrightarrow x-2y-y\sqrt{x-2y}-6y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}\right)^2-\frac{\sqrt{x-2y}}{y}-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=3\\\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=-2\end{cases}}\)

-Với \(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=3\Rightarrow\sqrt{x-2y}=3y\). Thay vào ( 2 ), ta có :

\(\sqrt{x+3y}=x+3y-2\Rightarrow\left(x+3y\right)-\sqrt{x+3y}-2=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3y}=2\\\sqrt{x+3y}=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3y=4\\\sqrt{x-2y}=3y\end{cases}}\Leftrightarrow....\)

-Với \(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=-2\Rightarrow\sqrt{x-2y}=-2y\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2y}=x+3y-2\\\sqrt{x-2y}=-2y\end{cases}\Leftrightarrow....}\)

Vậy ....

Ta có :  \(A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(A=4+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2.\left(x^2+y^2\right)}{xy}=4+\frac{4}{x^2y^2}+\frac{8}{xy}\)

\(A=4\left(\frac{1}{xy}+1\right)^2\)

Mặt khác : \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge4\left(\frac{1}{2}+1\right)^2=9\)

Vậy Min A = 9 khi x = y = \(\sqrt{2}\)

\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy+2x+y=0\left(1\right)\\x^2+2xy+2y^2+3x=0\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(1) - PT(2), ta được : \(x^2+xy-x+y-2y^2=0\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)+\left(xy-x\right)-\left(y^2-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+x\left(y-1\right)-y\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=1-2y\end{cases}}\)

cứ thế mà giải , đến đây dễ rồi