TA XÉT:     \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)      (*)

\(=\frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+c}+\frac{cb}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(a+b+c\right)\)

TỪ (*) VÀ DO:     \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)

=>     \(1\left(a+b+c\right)=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(a+b+c\right)\)

<=>    \(a+b+c=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(a+b+c\right)\)

<=>    \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)

=> TA CÓ ĐPCM.

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{a+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{bc}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)( ĐPCM )

a)

pt <=>   \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+3=4\left(2x+\frac{1}{x}\right)\)

<=>   \(\left(2x+\frac{1}{x}-1\right)\left(2x+\frac{1}{x}-3\right)=0\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}2x+\frac{1}{x}=1\\2x+\frac{1}{x}=3\end{cases}}\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}2x^2+1=x\\2x^2+1=3x\end{cases}}\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}4x^2-2x+2=0\\\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\end{cases}}\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2+1=0\left(1\right)\\\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)

CÓ:   \(\left(2x-1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

=> PT (1) VÔ NGHIỆM

PT (2) <=>   \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

b)

pt <=>   \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=13\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

<=>   \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1-13\right)=0\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}x^2+1=x\\x^2+\frac{1}{x^2}=14\end{cases}}\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\left(1\right)\\x^4+1=14x^2\left(2\right)\end{cases}}\)

DO:   \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

=>   PT (1) VÔ NGHIỆM.

PT (2) <=>   \(a^2+1=14a\)             (    \(a=x^2\))

<=>   \(\orbr{\begin{cases}a=7+4\sqrt{3}\\a=7-4\sqrt{3}\end{cases}}\)

=>   \(\orbr{\begin{cases}x^2=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\\x^2=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\end{cases}}\)

=>   \(x=\left\{\sqrt{3}+2;-\sqrt{3}-2;2-\sqrt{3}\right\}\)

để ý rằng nếu x là nghiệm thì x\(\ne\)0 nên ta chia cả tử số và mẫu số của vế trái cho x thì ta thu được \(\frac{12}{x+4+\frac{2}{x}}-\frac{3}{x+2+\frac{2}{x}}=1\)đặt \(t=x+\frac{2}{x}+2\)thì phương trình trở thành

\(\frac{12}{t+2}-\frac{3}{t}=1\Leftrightarrow12t-3t-6=t^2+2t\Leftrightarrow t^2-7t+6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=6\end{cases}}\)

với t=1 ta có \(x+\frac{2}{x}+2=1\Leftrightarrow t^2+t+2=0\)(vô nghiệm)

với t=6 ta có \(x+\frac{x}{2}+2=6\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{2}\)

Giả sử ta có một phương tiện C xuất phát cùng thời điểm từ A với vận tốc bằng vận tốc trung bình của xe đạp và xe máy, khi đó C luôn luôn ở giữa xe đạp và xe máy

Vận tốc của C là

(10+30):2=20 km/h

Vấn đề đặt ra là ta tìm thời điểm ô tô gặp C thì đó chính là thời điểm ô tô ở giữa xe đạp và xe máy.

Trong cùng 1 khoảng thời gian thì vận tốc tỷ lệ thuận với quãng đường đi được

\(\frac{V_C}{V_{oto}}=\frac{S_C}{S_{oto}}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\)

Quãng đường ôt tô đi đến điểm gặp nhau với C hay o tô ở giữa xe đạp và xe máy là

[120:(1+3)]x3=90 km

Thời gian ô tô ở giữa xe đạp và xe máy là

90:60=1,5 giờ

lm trên cymath.com

ĐK: x khác 0

Đặt: \(\frac{x^4}{2x^2+1}=t>0\Rightarrow\frac{2x^2+1}{x^4}=\frac{1}{t}\)

Ta có phương trình: \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2=0\Leftrightarrow t=1\)

Với t = 1 ta có: \(\frac{x^4}{2x^2+1}=1\)<=> \(x^4-2x^2-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=1+\sqrt{2}\\x^2=1-\sqrt{2}\left(loai\right)\end{cases}}\)

khi đó: \(x=\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}\)tm 

Vậy....

Lần sau đăng 3 - 4 ý/câu hỏi thôi :V 

1/ -x² + 4x - 5 = -( x² - 4x + 4 ) - 1 = -( x - 2 )² - 1 

\(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

=> GTLN = -1 <=> x = 2

2/ -x² + 2x - 7 = -( x² - 2x + 1 ) - 6 = -( x - 1 )² - 6 

\(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-6\le-6\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> GTLN = -6 <=> x = 1

3/ -x² - 6x - 10 = -( x² + 6x + 9 ) - 1 = -( x + 3 )² - 1

\(-\left(x+3\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x+3\right)^2-1\le-1\)

Đẳng thức xảy ra <=> x + 3 = 0 => x = -3

=> GTLN = -1 <=> x = -3

4/ -x² + 2x - 2 = -( x² - 2x + 1 ) - 1 = -( x - 1 )² - 1

\(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-1\le-1\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> GTLN = -1 <=> x = 1

5/ -9x² + 24x - 18 = -9( x² - 8/3x + 16/9 ) - 2 = -9( x - 4/3 )² - 2

\(-9\left(x-\frac{4}{3}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-9\left(x-\frac{4}{3}\right)^2-2\le-2\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 4/3 = 0 => x = 4/3

=> GTLN = -2 <=> x = 4/3

6/ -4x² + 4x - 7 = -4( x² - x + 1/4 ) - 6 = -4( x - 1/2 )² - 6

\(-4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-6\le-6\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

=> GTLN = -6 <=> x = 1/2

7/ -16x² + 8x - 2 = -16( x² - 1/2x + 1/16 ) - 1 = -16( x - 1/4 )² - 1

\(-16\left(x-\frac{1}{4}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-16\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-1\le-1\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/4 = 0 => x = 1/4

=> GTLN = -1 <=> x = 1/4

8/ -5x² + 20x - 49 = -5( x² - 4x + 4 ) - 29 = -5( x - 2 )² - 29

\(-5\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-5\left(x-2\right)^2-29\le-29\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

=> GTLN = -29 <=> x = 2

9/ -x² + x - 1 = -( x² - x + 1/4 ) - 3/4 = -( x - 1/2 )² - 3/4

\(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

=> GTLN = -3/4 <=> x = 1/2

10/ -x² + 3x - 3 = -( x² - 3x + 9/4 ) - 3/4 = -( x - 3/2 )² - 3/4

\(-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 3/2 = 0 => x = 3/2

=> GTLN = -3/4 <=> x = 3/2

11/ -x² + 5x - 8 = -( x² - 5x + 25/4 ) - 7/4 = -( x - 5/2 )² - 7/4

\(-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{7}{4}\le-\frac{7}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/2 = 0 => x = 5/2

=> GTLN = -7/4 <=> x = 5/2

12/ -9x² + 12x - 5 = -9( x² - 4/3x + 4/9 ) - 1 = -9( x - 2/3 )² - 1

\(-9\left(x-\frac{2}{3}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-9\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-1\le-1\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2/3 = 0 => x = 2/3

=> GTLN = -1 <=> x = 2/3

13/ -x² - 8x - 19 = -( x² + 8x + 16 ) - 3 = -( x + 4 )² - 3

\(-\left(x+4\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x+4\right)^2-3\le-3\)

Đẳng thức xảy ra <=> x + 4 = 0 => x = -4

=> GTLN = -3 <=> x = -4

14/ -x² + 2/3x - 1 = -( x² - 2/3x + 1/9 ) - 8/9 = -( x - 1/3 )² - 8/9

\(-\left(x-\frac{1}{3}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{8}{9}\le-\frac{8}{9}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/3 = 0 => x = 1/3

=> GTLN = -8/9 <=> x = 1/3

Mệt :)

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ne\pm2\\x\ne-\frac{13}{6}\end{cases}}\)

Đặt \(A=\left(\frac{1+2x}{4+2x}-\frac{x}{3x-6}+\frac{2x^2}{12-3x^2}\right)\cdot\frac{24-12x}{6+13x}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{1+2x}{2\left(x+2\right)}-\frac{x}{3\left(x-2\right)}-\frac{2x^2}{3\left(x^2-4\right)}\right)\cdot\frac{12\left(2-x\right)}{6+13x}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3\left(2x^2-3x-2\right)-2\left(x^2+2x\right)-4x^2}{6\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\frac{12\left(2-x\right)}{6+13x}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{-2\left(6x^2-9x-6-2x^2-4x-4x^2\right)}{\left(x+2\right)\left(6+13x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{-2\left(-6-13x\right)}{\left(x+2\right)\left(6+13x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2}{x+2}\)

b) Để biểu thức nhận giá trị dương

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x+2}>0\)

\(\Leftrightarrow x+2>0\)

\(\Leftrightarrow x>-2\)

Vậy để biểu thức có giá trị dương thì \(x>-2\)

Bài 11:

1) Sửa lại đề là: \(A=127^2+146.127+73^2\)

\(\Rightarrow A=127^2+2.127.73+73^2\)

\(\Rightarrow A=\left(127+73\right)^2\)

\(\Rightarrow A=200^2\)

\(\Rightarrow A=40000\)

Vậy \(A=40000.\)

2) Sửa lại đề là: \(B=9^8.2^8-\left(18^4-1\right).\left(18^4+1\right)\)

\(\Rightarrow B=\left(9.2\right)^8-\left[\left(18^4\right)^2-1^2\right]\)

\(\Rightarrow B=18^8-\left(18^8-1\right)\)

\(\Rightarrow B=18^8-18^8+1\)

\(\Rightarrow B=0+1\)

\(\Rightarrow B=1\)

Vậy \(B=1.\)

4) \(D=\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

\(\Rightarrow2D=\left(3-1\right).\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

\(=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\)

\(=\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\)

\(=\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\)

\(=\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\)

\(=3^{32}-1\)

\(\Rightarrow D=\frac{3^{32}-1}{2}\)