Phương trình \(\left(m^2-m\right)x^2+2mx+1=0\)có: 

\(\Delta=\left(2m\right)^2-4.\left(m^2-m\right).1=4m^2-4m^2+4m=4m\)

Phương trình có nghiệm\(\Leftrightarrow4m\ge0\Leftrightarrow m\ge0\)

Vậy \(m\ge0\)thì phương trình \(\left(m^2-m\right)x^2+2mx+1=0\)có nghiệm

Em có cách khác không sử dụng Svacxo thưa cô :

Ta có : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\right)-\frac{a+b+c}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho các số không âm ta được :

\(\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\right)-\frac{a+b+c}{2}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}\cdot\frac{b+c}{4}}+2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\cdot\frac{c+a}{4}}-\frac{1}{2}\)

\(=a+b+c-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Có: \(x^5+y^2=xy^2+1\)

<=> \(x^5-1=y^2\left(x-1\right)\)(1)

TH1: x = 1 

=> \(1^2+y^2=1.y^2+1\) đúng với mọi y

TH2: \(x\ne1\)

(1) <=> \(y^2=x^4+x^3+x^2+x+1\)

<=> \(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)

Có:

+)  \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+x^2+2x^2+x^2+4x+4\)

\(=\left(2x^2+x\right)^2+2x^2+\left(x+2\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

=> \(\left(2y\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

+) \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(\left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

TH1: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\)

<=> x = 0 

=> \(y=\pm1\)

TH2: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)

=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+1+4x^3+4x^2+2x\)

<=> \(2x+3-x^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=3\end{cases}}\)

Với x = -1 => \(y=\pm1\)

Với x = 3 => \(y=\pm11\)

Kết luận:...