Ta có:

\(A=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)}{2}\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\)

\(=5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\)

Đặt \(2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)=c\)

Từ công thức: \(a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x\left(a,b,x\inℤ\right)\Rightarrow a^2\cdot b^2=\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Nếu \(c\) là số chính phương thì \(5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\) là số chính phương.

Có thể thấy các thừa số của tích \(c\) mà có dạng \(\left(2d\right)^4+4\left(d\inℕ\right)\) thì chia hết cho \(2^2\).

Phân tích các thừa số của tích \(c\) ra thừa số nguyên tố. Ta có:

\(c=2\cdot\left(...\right)\left(2^2\cdot5\cdot13\right)\left(...\right)\left(2^2\cdot5^2\cdot13\right)...\left(2020^4+4=2^2\cdot...\right)\left(2021^4+4=...\cdot...\right)\)

Gộp các thừa số \(2^2\) lại thành tích ta có:

\(c=\left(2^2\right)^{\frac{\left(2021-3+1\right)-1}{2}}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^2\right)^{1009}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) (trong đó ký hiệu \(e\) là tích của các thừa số nguyên tố còn lại trong dãy \(\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\) sau khi 1009 thừa số \(2^2\) bị tách ra.

Có thể thấy tích \(e\) gồm các thừa số nguyên tố lớn hơn 2\(\Rightarrow2e\) không thể là số chính phương.

\(\Rightarrow\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) không phải là số chính phương\(\Rightarrow c\) không phải là số chính phương.

\(\Rightarrow A\) không phải là số chính phương (đpcm).

Bài làm:

Ta có: \(x^4-x^2+2x+7\)

\(=\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)+5\)

\(=\left(x^2-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+5\ge5\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^2-1=0\\x+1=0\end{cases}}\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(Min=5\Leftrightarrow x=-1\)

Bài làm:

Ta có: \(\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x^2-2x}{x-3}+\frac{5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)

\(=\frac{\left(x-3\right)^2}{\left(x-3\right)}=x-3\) \(\left(x\ne3\right)\)

\(\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}.\)

\(=\frac{4-x^2}{x-3}-\frac{2x-2x^2}{x-3}+\frac{5-4x}{x-3}.\)

\(=\frac{4-x^2-2x+2x^2+5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)

\(=\frac{\left(x-3\right)^2}{x-3}=x-3\)

Bài làm:

a) \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+2=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm PT \(S=\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

b) Nhận thấy \(\left(x-1\right)^4+\left(x-2\right)^4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^4=-\left(x-2\right)^4\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^4\ge0\\-\left(x-2\right)^4\le0\end{cases}\left(\forall x\right)}\) 

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^4=0\\-\left(x-2\right)^4=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\) (vô lý)

=> không tồn tại x thỏa mãn PT

a) x( x - 1 )( x + 1 )( x + 2 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}}\), \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+2=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\), \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-2\end{cases}}\)

b) ( x - 1 )⁴ + ( x - 2 )⁴ = 0

<=> ( x - 1 )⁴ = -( x - 2 )⁴

\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^4\ge0\\-\left(x-2\right)^4\le0\end{cases}\forall}x\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)( mâu thuẫn )

=> Phương trình vô nghiệm

Ta có : \(4x-5y-6xy-7=0\)

\(\Leftrightarrow12x-15y-18xy-21=0\)

\(\Leftrightarrow\left(12x-18xy\right)-15y-21=0\)

\(\Leftrightarrow6x.\left(2-3y\right)+5.\left(2-3y\right)-31=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-3y\right)\left(6x+5\right)=31\)

Do \(x,y\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}2-3y\inℤ\\6x+5\inℤ\end{cases}}\)

Nên \(2-3y,6x+5\) là cặp ước của \(31\).

Ta có bảng sau :

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-6,1\right);\left(-1,11\right)\right\}\) thỏa mãn đề.

Bài làm:

\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{4x^2+15x+14}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}\)

\(=\frac{4x+7}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}\)

\(=\frac{4x+8}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}\)

\(=\frac{4\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}=\frac{4}{4x+7}\left(x\ne-2;x\ne-\frac{7}{4}\right)\)

đề thiếu à

a) -x² + 2x - 1

= -( x² - 2x + 1 )

= -( x - 1 )²

b) 12y - 36 - y²

= -( y² - 12y + 36 )

= -( y - 6 )²

c) -x³ + 9x² - 27x + 27

= -( x³ - 9x² + 27x - 27 )

= -( x - 3 )³

d) x³ - 6x² + 9x 

= x( x² - 6x + 9 )

= x( x - 3 )²

e) a³b - ab³ 

= ab( a² - b² )

= ab( a - b )( a + b )

f) a² + 2a + 1 - b²

= a² + ab + a - ab - b² - b + a + b + 1

= a( a + b + 1 ) - b( a + b + 1 ) + 1( a + b + 1 )

= ( a - b + 1 )( a + b + 1 )

a)\(-x^2+2x-1\) 

\(=-\left(x^2-2x+1\right)\)  

\(=-\left(x-1\right)^2\) 

b) \(12y-36-y^2\)    

\(=-\left(y^2-12y+36\right)\)    

\(=-\left(y^2-2\cdot1\cdot6+6^2\right)\)      

\(=-\left(y-6\right)^2\)        

c) \(-x^3+9x^2-27x+27\)      

\(=-x^3+3x^2+6x^2-18x-9x+27\)      

\(=-x^2\left(x-3\right)+6x\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)\)     

\(=\left(x-3\right)\left(-x^2+6x-9\right)\)   

\(=\left(x-3\right)\cdot-\left(x^2-6x+9\right)\)   

\(=\left(x-3\right)\cdot-\left(x^2-2\cdot x\cdot3+3^2\right)\) 

\(=-\left(x-3\right)\left(x-3\right)^2\)                                    

\(=\left(x-3\right)^3\)      

d) \(x^3-6x^2+9\)     

\(=x\left(x^2-6x+9\right)\)    

\(=x\left(x-3\right)^2\)    

e) \(a^3b-ab^3\)     

\(=ab\left(a^2-b^2\right)\)  

\(=ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)     

f) \(a^2+2a+1-b^2\)    

\(=a^2+2\cdot a\cdot1+1^2-b^2\)    

\(=\left(a+1\right)^2-b^2\)      

\(=\left(a+1-b\right)\left(a+1+b\right)\)