với mọi x,y,z >0 ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi a=b

tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi b=c

\(\frac{1}{\sqrt{5c^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2c+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi c=a

Vậy \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ca+2a^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{2}{3}\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\(\frac{3}{2}\)

Tham khảo bài của mình

Gọi thời gian người 1 hoàn thành công viêc làm 1 mình là x ( giờ, x > 0 )

                             2                                                 là y ( giờ , y > 0 )

 Trong 1 giờ người 1 làm được số công việc là ; \(\frac{1}{x}\) ( cv )

                            2                                   là:  \(\frac{1}{y}\) ( cv )

 \(\Rightarrow\)   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\)  ( 1 ) 

Trong 8 giờ người 1 làm được số công việc là: \(\frac{8}{x}\)( cv )

       29 giờ          2                                   là: \(\frac{29}{y}\)( cv )

\(\Rightarrow\)\(\frac{8}{x}+\frac{29}{y}=1\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\\frac{8}{x}+\frac{29}{y}=1\end{cases}}\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a\)

     \(\frac{1}{y}=b\)

\(\hept{\begin{cases}a+b=\frac{1}{15}\\8a+29b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{45}\\b=\frac{1}{45}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=22,5\\y=45\end{cases}}\)( giờ )

Vậy...

Mik không chắc có đúng hay không nha !

HPT \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-2xy=0\left(1\right)\\x+y-x^2y^2-\sqrt{\left(xy-1\right)^2+1}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy PT trên trừ pt dưới:\(x^2y^2-2xy+\sqrt{\left(xy-1\right)^2+1}=0\)

Mà: \(x^2y^2-2xy+\sqrt{\left(xy-1\right)^2+1}\ge x^2y^2-2xy+1=\left(xy-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(xy=1\). Thay vào PT (1): \(x+y-2=0\Rightarrow y=2-x\)

Thay ngược lại suy ra: \(x\left(2-x\right)=1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Thay xuống PT (2) ta thấy thỏa mãn.

Vậy x = y = 1

P.s: Em chưa học phần này nên không chắc ạ!

\(Đk:x\ge1\)

\(5\sqrt{x^3+1}=2\left(x^2+2\right)\) 

\(\Leftrightarrow25\left(x^3+1\right)=4\left(x^4+4x^2+4\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4-25x^3+16x^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x-3\right)\left(4x^2-5x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-5x-3=0\\4x^2-5x+3=0\left(vn\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}\left(tm\right)\)

Vậy .............

sửa bạn kia tí đk x>=-1

Cách 2: Để ý \(x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\) nên ta tách \(2\left(x^2+2\right)=a\left(x^2-x+1\right)+b\left(x+1\right)\) bằng cách đồng nhất hệ số ta được phương trình:

\(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x^2-x+1\right)+2\left(x+1\right)\)

Chia hai vế cho x^2-x+1 dĩ nhiên > 0

sau khi chia ta thu được: \(5\sqrt{\frac{x+1}{x^2-x+1}}=2\frac{x+1}{x^2-x+1}+2\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x^2-x+1}}\) ta có pt: \(2t^2-5t+2=0\)

rồi bạn giải nốt pt ẩn t rồi thay lên nha =))) good luck

đề bài lag ?!

Hệ  phương trình j z ???
 

ủa giải gì vậy bạn ????????????????????????????????????????

Mình gửi đề ạ, chứ sao trên đó nó không hiện đề

\(\begin{cases} x.\sqrt[\text{2}]{\text{1-$y^{2}$}}+y.\sqrt[\text{2}]{\text{1-$x^{2}$}} (1)\\ x+y=1 (2) \end{cases} \)

\(ĐKXĐ:2x^2+16x+18\ge0;x^2-1\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}=2x+4-\sqrt{2x^2+16x+18}\)(1)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}\left(\frac{2\sqrt{x^2-1}}{2x+4+\sqrt{2x^2+16x+18}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x^2-1}=0\\2\sqrt{x^2-1}=2x+4+\sqrt{2x^2+16x+18}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy(1) + (2), ta được: \(3\sqrt{x^2-1}=4x+8\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{57}-32}{7}\)

\(1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\) \(\Rightarrow a^2-3a+2\le0\Rightarrow a^2+2\le3a\)

\(\Rightarrow a+\frac{2}{a}\le3\)\(\Rightarrow\left(a+\frac{2}{a}\right)^2\le9\Rightarrow a^2+\frac{4}{a^2}\le5\)

Tương tự : \(b+\frac{2}{b}\le3\); \(b^2+\frac{4}{b^2}\le5\)

\(\Rightarrow a+\frac{2}{a}+a^2+\frac{4}{a^2}+b+\frac{2}{b}+b^2+\frac{4}{b^2}\le16\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có : 

\(16=\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)+\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)\ge2\sqrt{\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)}\)

\(\Leftrightarrow8\ge\sqrt{\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)\le64\)

Vậy GTLN của A là 64 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=2\end{cases}}\)