Lời giải:

Đặt $A=x^2+x^4+....+x^{100}$

$\Rightarrow x^2A=x^4+x^6+....+x^{100}+x^{102}$

$\Rightarrow x^2A-A=x^{102}-x^2$

$\Rightarrow A(x^2-1)=x^2(x^{100}-1)$

$\Rightarrow A=\frac{x^2(x^{100}-1)}{x^2-1}$

$\Rightarrow A.\frac{x^2-1}{x^{100}-1}=\frac{x^2(x^{100}-1)}{x^2-1}.\frac{x^2-1}{x^{100}-1}=x^2$ (đpcm)

Gọi số đò là x(đò), gọi số khách trên 1 đò là y(người)

(ĐK: \(x,y\in Z^+\))

Nếu mỗi đò chở 6 khách thì thừa 4 người nên số người trong đoàn khách là 6x+4(người)

Nếu mỗi đò chở 8 khách thì lại thừa 1 đò nên số người trong đoàn khách là 8(x-1)(người)

Do đó, ta có: 8(x-1)=6x+4

=>8x-8=6x+4

=>2x=12

=>x=12:2=6(nhận)

Vậy: Số người trong đoàn khách là \(6\cdot6+4=40\left(người\right)\)

a) Vì : \(\left(2x-y+z\right)^{2024}\ge0,\left|y^2-z\right|\ge0,\left(z-4\right)^{2022}\ge0\forall x,y,z\\ \Rightarrow\left(2x-y+z\right)^{2024}+\left|y^2-z\right|+\left(z-4\right)^{2022}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi : 2x-y+z=y^2-z=z-4=0

Với z-4=0=>z=4

Lại có : y^2-z=0=>y^2=4=>y=2 hoặc y=-2

+) y=2=>2x-2+4=0=>x=-1

+) y=-2=>2x-(-2)+2=0=>x=-2

Vậy (x;y;z)=(-1;2;4);(-2;-2;4)

b) x+y-2xy=4

=> 2x+2y-4xy=8

=> 2x(1-2y)+2y=8

=> 2x(1-2y)-(1-2y)=7

=> (1-2y)(2x-1)=7

Do x, y đều là các số nguyên => 1-2y và 2x-1 cũng là các số nguyên

Mà : 7=1.7=(-1).(-7)

Đến đây bạn lập bảng giá trị rồi kết luận nhé.

Giải:

Số tiền của 1 cây bút là:

63000:7=9000 (đồng)

Số tiền của Minh là:

63000+27000=90000 (đồng)

Số bút cả hai bạn mua được là:

90000:9000=10 (cây bút)

Đáp số: 10 cây bút.

11 cái

Bài 5:

Thể tích hình hộp chữ nhật là \(6^3=216\left(cm^3\right)\)

Chiều cao hình hộp chữ nhật là:

216:9:4=6(cm)

Diện tích xung quanh hình hộp là:

\(\left(9+4\right)\cdot2\cdot6=12\cdot13=156\left(cm^2\right)\)

Diện tích toàn phần của hình hộp là:

\(156+2\cdot4\cdot9=228\left(cm^2\right)\)

Bài 3:

a: Diện tích mảnh đất đó là:

\(54:20\%=270\left(m^2\right)\)

b: Diện tích đất còn lại là:

270-54=216(m²)

Tỉ số phần trăm giữa diện tích đất làm nhà và diện tích còn lại là:

54:216=25%

a) \(A\left(-1\right)=-1+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^3+...+\left(-1\right)^{99}+\left(-1\right)^{100}\\ =-1+1+\left(-1\right)+...+\left(-1\right)+1\\ =0\)

=> x=-1 là nghiệm đa thức A(x)

b) \(A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\\ \Rightarrow2.A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{98}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}\\ \Rightarrow2.A\left(\dfrac{1}{2}\right)-A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\\ \Rightarrow A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

Số bút chì trong 1 hộp là:

72:6=12(bút)

Số hộp bút chì xếp được khi có 768 cây bút là:

768:12=64(hộp)

Có thể phân biệt bằng cách:

- nếu như đại lượng này tăng và đại lượng kia cũng tăng thì là tỉ lệ thuận

- nếu như đại lượng này tăng và đại lượng kia giảm thì là đại lượng tỉ lệ nghịch

Giải: 

Mỗi hộp bút chì màu chứa số bút là:

42:7=6 (bút)

Lan có tất cả số hộp bút chì là:

7 + 3=  10 (hộp)

Lan có tất cả số bút chì là:

10 x 6= 60 (bút chì)

Đáp số: 60 bút chì.

Mỗi hộp có số bút chì là:

42 : 7 = 6 (cái)

Lần có tất cả số cái bút là:

(7 + 3) × 6 = 60 (cái)

          Đáp số: 60 cái

 \(\Rightarrow\) vì \(|\)\(x|\) o mà về phải luôn > = 3 về trái cũng phải luôn \(\ge\) 3\(x\ge\) o

\(\Rightarrow\) 2024 \(\times1011x-< =1012x+3\)

\(x=5\)

vậy \(x=\) 5 sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán