\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)

\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

2/\(LHS\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{1+b+c}{3}+\frac{1+c+a}{3}+\frac{1+a+b}{3}}=\frac{3}{2}\)

Khi xe thứ hai xuất phát thì xe thứ nhất đi được: (8,5 - 7).40 = 60 (km).

Gọi t là thời gian xe thứ hai bắt đầu đi đến khi gặp xe thứ nhất(h) (t>1,5)

=> Quãng đường xe thứ hai đi được cho đến khi gặp xe thứ nhất là: 60t

Quãng đường xe thứ nhất đi được cho đến khi gặp xe thứ hai là: 60 + 40t.

Theo đề ta có phương trình: 60t = 60 + 40t => t = 3.

Vậy hai xe gặp nhau vào lúc: 3 + 8,5 = 11,5 giờ(Không biết giải theo cách lập hệ phương trình sao nữa)

Gọi x là thời gian để hai người gặp được nhau (h) (với điều kiện x>0)
Vậy ta có quãng đường ng thứ nhất đi đc là 0.(x+1) (km)
=> dẽ dàng suy ra đc quãng đường của ng thứ 2 đi đc là 45x (km)
Vì 2 người đó đi cùng một quãng đường nên ta có phương trình như sau:
30(x+1) = 45x
<=>30x +30=45x
<=>30=15x
<=>x=2
Vậy tg người thứ nhất đi là 3h
Tg ng thứ 2 đi là 2h
Vậy đến 7+3 = 10h thì ng thứ 2 đuổi kịp ng thứ nhất
và cách A một quãng = 45.x=45.2 =90km

1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)

\(=ac+bc+c^2+ab\)

\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)

\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)

CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy /...

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)

\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

\(đpcm\Leftrightarrow\frac{DE+DA}{DE.DA}=\frac{2}{DF}\)

\(\Leftrightarrow DE.DF+DA.DF=2.DE.DA\)

\(\Leftrightarrow DE.DA-DE.FA+DE.DA+EF.DA=2.DE.DA\)

\(\Leftrightarrow DE.FA=FE.DA\)

\(\Leftrightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{FE}{FA}\)(*)

Xét tam giác DEC và tam giác DCA đồng dạng (g.g)

\(\Rightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{S_{DEC}}{S_{DCA}}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(1)

Lại xét tam giác EFB và tam giác CFA đồng dạng (g.g)

\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EF}{FB}.\frac{FB}{FA}=\frac{EC}{AB}.\frac{BE}{AC}=\frac{ EC}{AC}.\frac{BE}{AB}\)

Dễ thấy ABEC là tứ giác điều hòa \(\Rightarrow\frac{BE}{BA}=\frac{EC}{CA}\)(t/c của tứ giác điều hòa)

\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{FE}{FA}\)\(=\frac{DE}{DA}\)(đúng với (*))

Vậy \(\frac{1}{DE}+\frac{1}{DA}=\frac{2}{DF}\)(đpcm)

Gọi K đối xứng với F qua M.

Tứ giác FBKC là hình bình hành\(\Rightarrow FC//BK\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=\widehat{MEB};\widehat{BKM}=\widehat{MFA}\).Mà \(\widehat{AEM}=\widehat{MFA}\Rightarrow\widehat{BKM}=\widehat{MEB}\Rightarrow\)Tứ giác BMKE nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BEK}=\widehat{DAE};\widehat{BEK}=\widehat{FMD}=\widehat{FAD}=\widehat{DAE}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEK}=\widehat{DAE}\Rightarrow AD//EK\)

Do N là trung điểm của EF, M là trung điểm của FK \(\Rightarrow MN//EK\)

\(\Rightarrow MN//AD\left(đpcm\right)\)

ủa ko hiểu 

giờ mình có l 6

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le3\)

Ta có \(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+1+yz+1+xz+1}=\frac{9}{xy+yz+xz+3}\left(1\right)\)

Ta có : \(xy+yz+xz\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+3\le6\)

\(\Rightarrow\frac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(x^2+xy+y=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x=1-y\)

Thế vô phương trình sau được

\(4\left(1-y\right)+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}=5\)

\(\Leftrightarrow4y+\left(1-\sqrt{1-y}\right)+\sqrt[3]{y}=0\)

\(\Leftrightarrow4y+\frac{y}{1+\sqrt{1-y}}+\sqrt[3]{y}=0\)

Làm nốt

\(\hept{\begin{cases}x^2+xy+y=1\left(1\right)\\\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}+4x=5\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:x\ge0\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+xy+y-1=0\)(*)

Coi (*) là phương trình bậc hai theo ẩn x thì \(\Delta=y^2-4y+4=\left(y-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình (*) có hai nghiệm x = -1 (loại vì \(x\ge0\)) và \(x=-\frac{c}{a}=1-y\left(ĐK:y\le1\right)\)

\(\Rightarrow y=-x+1\). Thay y = -x + 1 vào (2), ta được: \(\sqrt{x}-\sqrt[3]{-x+1}+4x=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1+\sqrt[3]{x-1}+4x-4=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt[3]{x-1}+4\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x-1}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}>0\)nên \(\sqrt[3]{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=0\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,0\right)\)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x^3y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{x^2y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\) (áp dụng BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Sửa đề : \(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2z^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) :

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!