Bài làm:

Ta có: \(\left(x+m\right)\left(x+5\right)+3=\left(x+a\right)\left(x+b\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(5+m\right)x+5m+3=x^2+\left(a+b\right)x+ab\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}5m+3=a+b\\5m=ab\end{cases}}\) vì a,b là các biến

=> Ko thể tìm được m thỏa mãn

Bài làm:

Ta có: (x+m)(x+5)+3=(x+a)(x+b)

⇔x2+(5+m)x+5m+3=x2+(a+b)x+ab

Đồng nhất hệ số ta được: \hept{5m+3=a+b5m=ab vì a,b là các biến

=> Ko thể tìm được m thỏa mãn

Căn bậc hai của 16 là \(\pm4\)

c. 4 và -4

Ta có: \(x=-24\Leftrightarrow-x=24\Leftrightarrow1-x=25\)

Thay vào E ta được:

\(E=x^{20}+\left(1-x\right)x^{19}+\left(1-x\right)x^{18}+...+\left(1-x\right)x^2+\left(1-x\right)x+\left(1-x\right)\)

\(E=x^{20}+x^{19}-x^{20}+x^{18}-x^{19}+...+x^2-x^3+x-x^2+1-x\)

\(E=1\)

Bài làm:

a) Ta có: \(4^{10}-1=\left(4^5-1\right)\left(4^5+1\right)\) là hợp số

b) Ta có: \(2^{50}+1\)

\(=\left(2^{25}\right)^2+2.2^{25}+1-2^{26}\)

\(=\left(2^{25}+1\right)^2-\left(2^{13}\right)^2\)

\(=\left(2^{25}-2^{13}+1\right)\left(2^{25}+2^{13}+1\right)\) là hợp số

=> đpcm

Bài làm:

Ta có: Đặt \(m=\left(a^2+b^2\right)\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)

=> \(m^2=\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Vì \(a,b\inℤ\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2-b^2\right)^2\\\left(2ab\right)^2\end{cases}}\) là các số chính phương

=> m² là tổng của 2 số chính phương

=> đpcm

Mình không biết vẽ hình trên đây bạn tự vẽ hình nhé

a, Chứng minh DHMK là hình chữ nhật

Xét tứ giác DHMK có:  Góc D= Góc H= Góc F(=90 độ)

=> DHMK là hình chữ nhật

b, Chứng minh DE.DF=EF.DM và DE.DF=EF.HK

Xét tam giác DEF và tam giác MDF có:      Góc D= Góc M(=90 độ)

                                                                    Góc F:chung

=> Tam giác DEF đồng dạng với tam giác MDF(g.g)

=>\(\frac{DE}{MD}=\frac{EF}{DF}\)

=>DE.DF=EF.MD

Xét tam giác MDE và tam giác DFE có:     Góc M= Góc D(=90 độ)

                                                                    Góc E:chung

=>Tam giác MDE đồng dạng với tam giác DFE(g.g)

=>\(\frac{DE}{FE}=\frac{MD}{DF}\)

=>DE.DF=FE.MD

mà MD=HK(DHMK là hình chữ nhật)

=>DE.DF=FE.HK

c, Chứng minh DM²=EM.FM và HK²=EM.FM

Ta có:   Góc E+ Góc F=90 độ

             Góc F+ Góc D=90 độ 

=> Góc E= Góc D(cùng phụ với góc F)

Xét tam giác MDE và tam giác MFD có:     Góc E= Góc D

                                                                    Góc M:chung

=>Tam giác MDE đồng dạng với tam giác MFD(g.g)

=> \(\frac{MD}{MF}=\frac{ME}{MD}\)

=>MD²=ME.MF

Ta có:MD=HK(DHMK là hình chữ nhật)

mà MD²=ME.MF

=>HK²=ME.MF