Bài làm:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)

b) Tương tự phần a ta chứng minh được:

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c

c) Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)

\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a-b}{2}}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\)

\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\frac{4}{2c}=\frac{4}{c}\) (Cauchy Schwars)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế 3 BĐT vừa CM lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "="  xảy ra khi: a=b=c

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a,b,c > 0

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a^2+ab}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

a, b > 0 => \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\ab>0\\a+b>0\end{cases}}\forall a,b\)

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra \(\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)( do ab(a+b) > 0 )

b) CMTT ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\); \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế của bđt ta được :

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Còn ý c) thì mình chưa làm được vì chưa nghiên cứu sâu về bđt

Tham khảo bài bạn @godatakeshidang nhé ^^

Bài làm:

a) Ta có: \(x^2+4\ge4>0\left(\forall x\right)\)

=> \(5x-2\le0\)

<=> \(5x\le2\)

=> \(x\le\frac{2}{5}\)

b) Ta có: \(x^2-2x+9=\left(x^2-2x+1\right)+8=\left(x-1\right)^2+8\ge8>0\left(\forall x\right)\)

=> \(3x+4\ge0\)

<=> \(3x\ge-4\)

=> \(x\ge-\frac{4}{3}\)

\(\frac{5x-2}{x^2+4}\le0\)

Vì x² + 4 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 5x - 2 ≤ 0

                      <=> 5x ≤ 2

                      <=> x ≤ 2/5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 2/5

\(\frac{3x+4}{x^2-2x+9}\ge0\)

Ta có : x² - 2x + 9 = ( x² - 2x + 1 ) + 8 = ( x - 1 )² + 8 ≥ 8 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 3x + 4 ≥ 0

                       <=> 3x ≥ -4

                       <=> x ≥ -4/3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ -4/3

\(A=x^2-6x+9+x^2+22x+121\)

\(=2x^2+16x+21=2\left(x^2+8x+16\right)-11\)

\(=2\left(x+4\right)^2-11\ge-11\)

\(M=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(x^2-10x+25\right)+4\left(x-3y\right)+2024\)

\(=\left(x-3y\right)^2+4\left(x-3y\right)+4+\left(x-5\right)^2+2020\)

\(=\left(x-3y+2\right)^2+\left(x-5\right)^2+2020\ge2020\)

\(A=\left(x-3\right)^2+\left(x+11\right)^2=2x^2+16x+130\)

\(=2\left(x+4\right)^2+98\)

Vì \(\left(x+4\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x+4\right)^2+98\ge98\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2\left(x+4\right)^2=0\Leftrightarrow x+4=0\Leftrightarrow x=-4\)

Vậy minA = 98 <=> x = - 4

\(B=2x^2+9y^2-6xy-6x+12y+2049\)

\(\Leftrightarrow B=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(4x-12y\right)+4+\left(x^2-10x+25\right)+2020\)

\(\Leftrightarrow B=\left(x-3y\right)^2+4\left(x-3y\right)+4+\left(x-5\right)^2+2020\)

\(\Leftrightarrow B=\left(x-3y+2\right)^2+\left(x-5\right)^2+2020\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-3y+2\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(x-5\right)^2\ge0\forall x\end{cases}}\)

\(\Rightarrow B=\left(x-3y+2\right)^2+\left(x-5\right)^2+2020\ge2020\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-3y+2\right)^2=0\\\left(x-5\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3y=-2\\x=5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{7}{3}\\x=5\end{cases}}\)

Vậy minB = 2020 <=> x = 5 ; y = 7/3

a) Đặt \(x=1+m\)và \(y=1-m\)khi đó \(x+y=2\)

Ta có: \(C=x^2+y^2+7=\left(1+m\right)^2+\left(1-m\right)^2+7\)

\(=1+2m+m^2+1-2m+m^2+7=2m^2+9\)

Vì \(m^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2m^2\ge0\forall m\)\(\Rightarrow2m^2+9\ge9\forall m\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow m=0\)\(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy \(minC=9\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Bài làm:

Ta có: \(x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(10x-20y\right)+25+\left(y^2-2y+1\right)+2\)

\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+25+\left(y-1\right)^2+2\)

\(=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x-2y+5\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Min = 2 khi x = -3 và y = 1

Đặt \(A=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)

\(\Rightarrow A=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(10x-20y\right)+25+\left(y^2-2y+1\right)+2\)

\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+25+\left(y-1\right)^2+2\)

\(=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)

Vì \(\left(x-2y+5\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2+5=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)

Vậy \(minA=2\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)

Gọi thương là b,d

Có a:3 = c dư 1

     a = 3c + 1

Có b: 3 = d dư 2

     b = 3d + 2

Thay vào, ta được:

 [(3c + 1)(3d + 2) + 2] : 3

[ 9cd + 6c + 3d + 2 + 2] : 3

[ 3(3cd + 2c + d) + 4] : 3

Vì 3 chia hết cho 3 nên 3(3cd + 2c + d) chia hết cho 3

Mà 4 chia 3 dư1

Suy ra 3(3cd + 2c + d) + 4 chia 3 dư 1

Vậy (ab + 2) chia 3 dư 1

a)

Dạng Chính Xác:

b)

Dạng Chính Xác: