\(Đkxđ:x\ge-1\)

Ta có: \(\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x+3}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x+3}-2x+\sqrt{x+1}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(\sqrt{x+3}-1\right)-\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-1\right)\left(\sqrt{x+1}-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=1\left(1\right)\\\sqrt{x+1}=2x\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x=-2\left(l\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x+1=4x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\4x^2-x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\left(tmđk\right)\)

Vậy pt đã cho cs nghiệm \(s=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\)

\(2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}\left(1\right)\)

\(ĐK:x\ge-3\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+3\right)+2x^2=3x\sqrt{x+3}\)

Đặt \(\sqrt{x+3}=a,x=b\left(a\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2+2b^2=3ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a=2b\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3}=x\\\sqrt{x+3}=2x\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x^2-x-3=0\\4x^2-x-3=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\\x=1,x=\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Vậy............

\(Đkxđ:x\ge-3\)

Với đk trên pt trở thành:  \(2\left(x\right)^2-3\left(x\right)\left(\sqrt{x+3}\right)+\left(\sqrt{x+3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x\right)^2-2\left(x\right)\left(\sqrt{x+3}\right)-\left(x\right)\left(\sqrt{x+3}\right)+\left(\sqrt{x+3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-\sqrt{x+3}\right)-\sqrt{x+3}\left(x-\sqrt{x+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x-\sqrt{x+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3}=x\left(1\right)\\\sqrt{x+3}=2x\left(2\right)\end{cases}}\)

• \(\left(1\right):\sqrt{x+3}=x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x+3=x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2-x-3=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\) Hoặc \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{13}}{1}\)

• \(\left(2\right):\sqrt{x+3}=2x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x+3=4x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\4x^2-x-3=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\) Hoặc \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{3}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)

So với đk ta đc tập nghiệm: \(S=\left\{1;\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}\)

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi E là trung điểm AD. Kẻ AH vuông góc với EB tại H, DI vuông góc với CE tại I. Chứng minh tứ giác BHIC nội tiếp đường tròn.VÀ chứng minh EK vuông góc vs BC

Đường thẳng đoạn chắn qua M (3,1) có pt và a+3b min
a+3b=12, b= a/3 
a=6, b=2
Đường thẳng d cắt trục hoành tai điểm A(6,0), B(0,2)

??
 

Giả sử \(A\left(\frac{1}{a},0\right),B\left(0,\frac{1}{b}\right)\). Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng: \(ax+by=1\)

Vì  \(M\left(3,1\right)\in d\)nên \(3a+b=1\)

Ta có : \(OA+3OB=\left|\frac{1}{a}\right|+\left|\frac{3}{b}\right|\ge\left|\frac{1}{a}+\frac{3}{b}\right|=\left|\frac{3a+b}{a}+\frac{3\left(3a+b\right)}{b}\right|=\left|6+\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}\ge2\sqrt{\frac{9ab}{ab}}=6\)

\(\Rightarrow OA+3OB\ge\left|6+6\right|=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{2}\)

ĐK: \(x\ge-2;y\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left(x-y+3\right)=\sqrt{y}\\x^2+\left(x+3\right)\left(2x-y+5\right)=x+16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left[\left(x+2\right)-y+1\right]=\sqrt{y}\\3\left(x^2+4x+4\right)-2\left(x+2\right)-y\left(x+2\right)-y-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left[\left(x+2\right)-y+1\right]=\sqrt{y}\\3\left(x+2\right)^2-2\left(x+2\right)-y\left(x+2\right)-y-9=0\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{y}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3+a-ab^2=b\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a^2+ab+1\right)=0\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\left(a^2+ab+1>0\right)\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\2a^4-3a^2-9=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\a^2=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)( thỏa mãn )

Kết luận: ...