Đặt \(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2024}}\)

=>\(2A=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{2023}}\)

=>\(2A-A=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{2023}}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^2}-...-\dfrac{1}{2^{2024}}\)

=>\(A=1-\dfrac{1}{2^{2024}}\)

\(223-x\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2024}}\right):\left(1-\dfrac{1}{2^{2024}}\right)=23\)

=>\(223-x\left(1-\dfrac{1}{2^{2024}}\right):\left(1-\dfrac{1}{2^{2024}}\right)=23\)

=>223-x=23

=>x=200

2x=3y

=>\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}\)

=>\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}\left(1\right)\)

5y=7z

=>\(\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{5}\)

=>\(\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

Đặt \(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=k\)

=>x=21k; y=14k; z=10k

3x-2y+5z=-30

=>\(3\cdot21k-2\cdot14k+5\cdot10k=-30\)

=>85k=-30

=>\(k=-\dfrac{30}{85}=-\dfrac{6}{17}\)

=>\(x=21\cdot\dfrac{-6}{17}=\dfrac{-126}{17};y=14\cdot\dfrac{-6}{17}=-\dfrac{84}{17};z=10\cdot\dfrac{-6}{17}=-\dfrac{60}{17}\)

\(2x=3y\Rightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}\Rightarrow\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}\)

\(5y=7z\Rightarrow\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{3x}{63}=\dfrac{2y}{28}=\dfrac{5z}{50}=\dfrac{3x-2y+5z}{63-28+50}=\dfrac{-30}{85}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{30}{85}.21=-\dfrac{126}{17}\\y=-\dfrac{30}{85}.14=-\dfrac{84}{17}\\z=-\dfrac{30}{85}.10=-\dfrac{60}{17}\end{matrix}\right.\)

Em có ghi nhầm đề đâu ko mà kết quả xấu quá

\(A=\dfrac{3^{2022}+2}{3^{2022}-1}=\dfrac{3^{2022}-1+3}{3^{2022}-1}=1+\dfrac{3}{3^{2022}-1}\)

\(B=\dfrac{3^{2022}}{3^{2022}-3}=\dfrac{3^{2022}-3+3}{3^{2022}-3}=1+\dfrac{3}{3^{2022}-3}\)

Vì \(3^{2022}-1>3^{2022}-3\)

nên \(\dfrac{3}{3^{2022}-1}< \dfrac{3}{3^{2022}-3}\)

=>\(1+\dfrac{3}{3^{2022}-1}< 1+\dfrac{3}{2^{2022}-3}\)

=>A<B

Với các số dương \(a;b;n\) sao cho \(a>b\) ta luôn có: \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\)

Thật vậy, do \(a>b\Rightarrow an>bn\Rightarrow ab+an>ab+bn\)

\(\Rightarrow a\left(b+n\right)>b\left(a+n\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\)

Áp dụng:

 Do \(3^{2022}>3^{2022}-3>0\) và \(2>0\) nên:

\(\dfrac{3^{2022}}{3^{2022}-3}>\dfrac{3^{2022}+2}{3^{2022}-3+2}\Rightarrow\dfrac{3^{2022}}{3^{2022}-3}>\dfrac{3^{2022}+2}{3^{2022}-1}\)

Vậy \(B>A\)

Cách khác:

Gọi cạnh khi tăng lên là a+5

Gọi cạnh khi chx tăng là b

Theo bài:

(a+5).b-ab=120

ab+5b-ab=120

5b=120

=>b=24

=>bn cho thiếu

mk là sai là lại nè

Gọi cạnh khi tăng là:a+5

Cạnh khi chx tăng là a

Theo bài

(a+5)xa-aa=120

aa+5a-aa=120

5a=120

a=24

=>diện tích hình vuông là

24x24=576

a: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

b: Ta có: ΔAEH vuông tại E

=>\(EH^2+EA^2=AH^2\)

=>\(EH^2=10^2-6^2=64=8^2\)

=>EH=8(cm)

Xét ΔAHE có AM là phân giác

nên \(\dfrac{MH}{AH}=\dfrac{ME}{AE}\)

=>\(\dfrac{MH}{10}=\dfrac{ME}{6}\)

=>\(\dfrac{MH}{5}=\dfrac{ME}{3}\)

mà MH+ME=EH=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{MH}{5}=\dfrac{ME}{3}=\dfrac{MH+ME}{5+3}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>MH=5(cm); ME=3(cm)

c: Xét ΔHEC có HN là phân giác

nên \(\dfrac{EN}{NC}=\dfrac{EH}{HC}\left(1\right)\)

Xét ΔAHE có AM là phân giác

nên \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EA}{AH}\left(2\right)\)

Xét ΔEHA vuông tại E và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔEHA~ΔHCA

=>\(\dfrac{EA}{HA}=\dfrac{EH}{HC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EN}{NC}\)

Xét ΔEHC có \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EN}{NC}\)

nên MN//HC

=>MN//BC

mà AH\(\perp\)BC

nên HA\(\perp\)MN

Xét ΔAHN có

NM,HE là các đường cao

NM cắt HE tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔAHN

=>AM\(\perp\)HN

Lời giải:
Độ dài cạnh sân trường ban đầu:

$120:5=24$ (m)

Lúc đầu diện tích sân trường là:

$24\times 24=576$ (m²)

\(P=\left(a^2+b\right)-\left(2a^2+b\right)+2\left(ab+2021b\right)\)

\(=a^2+b-2a^2-b+2ab+2\cdot2021b\)

\(=-a^2+2ab+2\cdot b\left(a-2b\right)\)

\(=-a^2+2ab+2ba-4b^2\)

\(=-\left(a^2-4ab+4b^2\right)\)

\(=-\left(a-2b\right)^2=-2021^2\)

19 viên bi

19 viên