Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3

Với \(n=1\)thì \(7^3+8^3=343+512=855=57.15\)chia hết cho 57

Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\)chia hết cho 57

Xét \(7^{k+3}+8^{2k+3}=7^{k+2}.7+8^{2k+1}.8^2\)

\(=7\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\)chia hết cho 57

Mệnh đề đúng với n=1 vì số 111 chia hết cho 3

Bài này áp dụng các quy tắc của MODUL các cách giải khác sẽ khá phức tạp nên nếu bạn chưa học về MODUL thì bạn cũng nên tự nghiên cứu nha :)) Giờ giải thoi :))

\(7^{n+2}+8^{2n+1}=7^2.7^n+8.8^{2n}=49.7^n+8\left(8^2\right)^n=49.7^n+8.64^n\)

Vì \(64\equiv7\left(mod57\right)\)nên \(64^n\equiv7^n\left(mod57\right)\)

\(\Rightarrow49.7^n+64^n\equiv49.7^n+8.7^n\left(mod57\right)\)

Mà \(49.7^n+8.7^n=57.7^n\equiv0\left(mod57\right)\) hay \(57.7^n⋮57\)

\(\Rightarrow7^{n+2}+8^{2n+1}⋮57\)

Với \(n=1\)thì \(2^3.3+4-4=25\)hia hết cho 24

Giả sử:\(2^{k+2}.3^k+5k-4\)chia hết cho 25

Xét \(2^{k+3}.3^{k+1}+5\left(k+1\right)-4=6\left(2^{k+2}.3^k+5k-4\right)-25\left(k+1\right)\)chia hết cho 25

( 3x + 2 )² - 3( 3x + 1 )( x - 2 )

= 9x² + 12x + 4 - 3( 3x² - 5x - 2 )

= 9x² + 12x + 4 - 9x² + 15x + 6

= 27x + 10

5x( x - 3 )² - 5( x - 1 )³ + 15( x + 2 )( x - 2 )

= 5x( x² - 6x + 9 ) - 5( x³ - 3x² + 3x - 1 ) + 15( x² - 4 )

= 5x³ - 30x² + 45x - 5x³ + 15x² - 15x + 5 + 15x² - 60

= ( 5x³ - 5x³ ) + ( -30x² + 15x² + 15x² ) + ( 45x - 15x ) + ( 5 - 60 )

= 30x - 55

= 5( 6x - 11 )

dhcvfer10rewhf0er5rfe2fgvce6gggcccccccccccccccccccccc

tim mot so tu nhien 6 chu so biet rang chu so neu chuyen chu so hang don vi la 4 va neu chuyen chu so do nen hang dau tien thi so do tang gap 4 lan