Xét: \(1+c^2=ab+bc+ca+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự CM được:

\(1+b^2=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\) và \(1+a^2=\left(c+a\right)\left(b+a\right)\)

Mặt khác ta tách: \(\hept{\begin{cases}a-b=\left(a+c\right)-\left(b+c\right)\\b-c=\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\\c-a=\left(c+b\right)-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Thay vào ta được:

\(Vt=\frac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)

\(=0\)

=> đpcm

1. <=> \(\left(3x+2\right)^3-\left(\left(3x\right)^3+2^3\right)=0\)

<=> \(\left(\left(3x\right)^3+2^3+3\left(3x+2\right).3x.2\right)-\left(\left(3x\right)^3+2^3\right)=0\)

<=>3 (3x + 2) . 3x.2 = 0 

<=> (3x + 2 ) . x = 0 

<=> x = -2/3 hoặc x = 0

2. Tương tự

1 

\(\left(3x+2\right)^3-\left[\left(3x\right)^3+2^3\right]=0\) 

\(\left(3x\right)^3+3\cdot\left(3x\right)^2\cdot2+3\cdot3x\cdot2^2+2^3-\left(3x\right)^3-2^3=0\) 

\(54x^2+36x=0\)  

\(18x\left(3x+2\right)=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=0\\3x+2=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-2}{3}\end{cases}}\) 

2 

\(\left(2x+1\right)^3-\left[\left(2x\right)^3-1^3\right]=0\) 

\(\left(2x\right)^3+3\cdot\left(2x\right)^2\cdot1+3\cdot2x\cdot1^2+1^3-\left(2x\right)^3-1^3=0\)  

\(12x^2+6x=0\) 

\(6x\left(2x+1\right)=0\)  

\(\orbr{\begin{cases}x=0\\2x+1=0\end{cases}}\)  

\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-1}{2}\end{cases}}\)

Đặt: \(t^2=x^2+x+6\)

=> \(4t^2=4x^2+4x+24=\left(2x+1\right)^2+23\)

=> \(4t^2-\left(2x+1\right)^2=23\)

<=> \(\left(2t-2x-1\right)\left(2t+2x+1\right)=23\)

Chia các trường hợp: => x và t

\(\frac{4^5.9^4-2.6^9}{2^{10}.3^8+6^8.20}\)

\(=\frac{\left(2^2\right)^5.\left(3^2\right)^4-2.\left(2.3\right)^9}{2^{10}.3^8+\left(2.3\right)^8.2^2.5}\)

\(=\frac{2^{10}.3^8-2^{10}.3^9}{2^{10}.3^8+2^8.3^8.2^2.5}\)

\(=\frac{2^{10}.3^8.\left(1-3\right)}{2^{10}.3^8.\left(1+5\right)}\)

\(=\frac{-1}{3}\)

Ta có:

\(\frac{4^5\cdot9^4-2\cdot6^9}{2^{10}\cdot3^8+6^8\cdot20}\)

\(=\frac{2^{10}\cdot3^8-2^{10}\cdot3^9}{2^{10}\cdot3^8+2^{10}\cdot3^8\cdot5}\)

\(=\frac{2^{10}\cdot3^8\cdot\left(1-3\right)}{2^{10}\cdot3^8\cdot\left(1+5\right)}\)

\(=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\)

∆ABC có hai đường cao BD, CR cắt nhau tại H

a) ∆BDC có H là trung điểm của DC (gt) và M là trung điểm của BC => HM là đường trung bình của tam giác => HM // BD

Mà HM⊥EF nên BD⊥EF. ∆BDH có BE và HE là hai đường cao nên E là trực tâm của ∆BDH => DE⊥BH (đpcm)

b) Kẻ FJ⊥CH cắt BH tại S

∆SHC có hai đường cao CF và SJ nên HF là đường cao thứ ba => HF⊥SC

Mà HF⊥HM => HM // SC mà M là trung điểm của BC nên H là trung điểm của BS

Xét ∆BRH và ∆SJH có:

          ^BRH = ^SJH (= 90⁰)

          BH = SH (cmt)

          ^BHR = ^SHJ (đối đỉnh)

Do đó ∆BRH = ∆SJH (ch - gn) 

=> HR = HJ (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ERH và ∆FJH có:

          ^ERH = ^FJH (= 90⁰ )

          HR = HJ (cmt)

          ^EHR = ^FHJ (đối đỉnh)

Do đó ∆ERH = ∆FJH (cgv - gnk)

=> EH = FH (hai cạnh tương ứng) (đpcm)