ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(x+1\right)=\left(3x+1+1\right)\sqrt{3x+1}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\\sqrt{3x+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành:

\(a^3+a=\left(b^2+1\right)b\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=0\) (do \(a^2+ab+b^2+1=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}+1>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x+1}=x+1\)

\(\Leftrightarrow3x+1=x^2+2x+1\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}\)

Với mọi x;y dương ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}\)

Áp dụng:

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{2}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

- Với BĐT bên phải: \(\sqrt{3}\left(a+b+c\right)>\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt{3}\left(a+b+c\right)>\sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2>2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\)

Thật vậy, do a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo BĐT tam giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< a\left(b+c\right)\\b^2< b\left(c+a\right)\\c^2< c\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế: 

\(a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\) (đpcm)

Sửa lại Gia đình bà Vân gồm 4 người lớn và 3 trẻ em thanh toán \(110000\) đồng thành \(1100000\) đồng

Gọi giá buffet của người lớn và trẻ em lần lượt là \(x;y\left(x;y>0\right)\)

Tổng số tiền ông Khanh : \(5x+5y=1500000\)

\(\Rightarrow x+y=300000\left(2\right)\)

Tổng số tiền nhà bà Vân : \(4x+3y=1100000\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có HPT :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=300000\\4x+3y=1100000\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=1200000\\4x+3y=1100000\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=300000\\y=100000\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=200000\\y=100000\end{matrix}\right.\)

Vậy giá buffet của người lớn và trẻ em lần lượt là \(200000\left(đồng\right);100000\left(đồng\right)\)

Em kiểm tra lại đề, rất có thể ở dữ liệu nhà bà Vân em ghi thiếu 1 số 0 ở con số 110 000, lẽ ra phải là 1 100 000 mới hợp lý

Câu 2:

a: \(cosa=0\)

=>\(a=90^0\)

b: \(tana=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

=>\(a=arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=30^0\)

c: \(cota-sin90^0=0\)

=>\(cota=sin90^0=1\)

=>\(a=45^0\)

d: \(tana=\dfrac{sina}{cota}\)

=>\(\dfrac{sina}{cosa}=\dfrac{sina}{cota}\)

=>\(cota=cosa\)

=>\(cosa\left(\dfrac{1}{sina}-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}cosa=0\\sina=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=90^0\)

\(\left(a+1\right)^2-2a-2\)

\(=a^2+2a+1-2a-2=a^2-1< =0\)(Do \(a^2< =1\))

=>\(\left(a+1\right)^2< =2a+2\)

Vì a² ≤ 1 ⇒ a² + 1 ≤ 1 + 1 = 2 

⇒ a² + 1 + 2a ≤ 2 + 2a ⇒ (a + 1)² ≤ 2(đpcm)

Gọi chiều rộng ban đầu là x(m)

(Điều kiện: \(0< x< \dfrac{35}{2}\))

Chiều dài ban đầu là 35-x(m)

Chiều dài sau khi giảm đi 5m là 35-x-5=30-x(m)

Diện tích nhỏ hơn ban đầu là 75m² nên ta có:

x(35-x)-x(30-x)=75

=>\(35x-x^2-30x+x^2=75\)

=>5x=75

=>x=15(nhận)

Vậy: Chiều rộng ban đầu là 15m

Chiều dài ban đầu là 35-15=20m

Diện tích ban đầu là \(15\cdot20=300\left(m^2\right)\)

Gọi  chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lúc đầu lần lượt là `x` và `y (m)`

Điều kiện: `0 <x,y < 35`

Do Khu vườn hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng là 35m

`=> x+y = 35 (1)`

Do nếu giảm chiều dài 5m và giữ nguyên chiều rộng thì diện tích vườn nhỏ hơn lúc đầu là `75m^2` nên

`xy - (x-5)y  = 75`

`=> xy -xy +5y = 75`

`=> 5y = 75

`=> y = 15`

Khi đó: `x = 35 - 15 = 20`  (Thỏa mãn)

Diện tích khu vườn ban đầu là: 

`xy = 20 . 15 = 300 (m^2)`

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là `300m^2`

Gọi số lớn là x; số bé là y

Hiệu của hai số là 272 nên x-y=272

Lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 4, dư là 16 nên x=4y+16

x-y=272

=>4y+16-y=272

=>3y=256

=>\(y=\dfrac{256}{3}\)

\(x=4\cdot\dfrac{256}{3}+16=\dfrac{1072}{3}\)

Gọi số nhỏ là \(x\); \(x\in\) N

Khi đó, số lớn là: \(x\) + 272

Theo bài ra ta có phương trình: \(x\) + 272 = 4\(x\) + 16

                                                  4\(x\) -  \(x\) = 272 - 16

                                                  3\(x\) = 256

                                                    \(x\) = 256 : 3

                                                    \(x\) = \(\dfrac{256}{3}\) (loại)

Vậy không có hai số tự nhiên nào thỏa mãn đề bài. 

Gọi vận tốc ban đầu của xe máy và ô tô là `x` và `y (km`/`h)`

Điều kiện: `x;y > 0`

Do khi ô tô tăng thêm `20km`/`h` thì gấp đôi vạn tốc xe máy

`=> 2x = y+20`

`=> 2x - y = 20 (1) `

Do 2 tỉnh cách nhau `255 km`, 2 xe gặp nhau sau 3 giờ nên tổng vận tốc 2 xe là: 

`255 : 3 = 85 (km`/`h)`

hay `x + y = 85 (2) `

`(1)(2)` ta có hệ phương trình: 

`{(x+y=85),(2x-y=20):}`

`<=> {(3x=105),(2x-y=20):}`

`<=> {(x=35),(y=50):}`

Vậy vận tốc ban đầu của xe máy và ô tô là `35km`/`h` và `50km`/`h`

Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h), vận tốc của ô tô là y(km/h)

(Điều kiện: x>0; y>0)

Tổng vận tốc của hai xe là 255:3=85(km/h)

=>x+y=85

Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì sẽ gấp đôi vận tốc xe máy nên ta có: y+20=2x

=>y=2x-20

x+y=85

=>2x-20+x=85

=>3x=105

=>x=35(nhận)

=>y=85-35=50(nhận)

vậy: Vận tốc xe máy là 35km/h; vận tốc ô tô là 50km/h

Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là `x` và `y (m)`

Điều kiện:` x;y > 0`

Do mảnh vườn có chu vi là `90m` nên tổng chiều dài và rộng của mảnh vườn là: 

`90 : 2 = 45 (m)`

hay `x+y = 45 (1)`

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: `xy (m^2)`

Khi tăng chiều dài `10m` và chiều rộng `5m` thì diện tích tăng ` 350m^2` nên: 

`(x+10)(y+5) - xy = 350`

`=> xy + 10y +5x + 50 - xy=350`

`=> 5x + 10y = 300`

`=> x + 2y = 60 (2)`

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

`{(x+y = 45),(x+2y=60):}`

`<=> {(y = 15),(x=30):}`

Vậy chiều dài và rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là `30m` và `15m`

`sqrt{10 + 4sqrt{6}}`

`=sqrt{10 + 2. 2sqrt{6}}`

`=sqrt{sqrt{6}^2 + 2. 2sqrt{6} + 2^2}`

`=sqrt{(sqrt{6}+ 2)^2}`

`= sqrt{6}+ 2`

\(\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{4.\dfrac{5}{2}+4\sqrt{6}}=2\sqrt{\dfrac{5\sqrt{6}}{2}}\)