Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

P = \(\frac{2n+3}{2n-1}\)

Để P là số nguyên tố thì p cần là số nguyên và giá trị nguyên đó phải là số nguyên tố.

P nguyên khi và chỉ khi: (2n + 3) ⋮ (2n - 1)

[(2n - 1) + 4]⋮ (2n - 1)

4 ⋮ (2n -1)

(2n - 1) ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Lập bảng giá trị ta có:

Theo bảng trên ta có: n ∈ {3; 5}

Vậy P = \(\frac{2n+3}{2n-1}\) có giá trị là số nguyên tố khi n ∈ {0; 1}

Ta có :\(\overline{abbc}=\overline{ab}\times\overline{ac}\times7\)

\(\Leftrightarrow100\overline{ab}+\overline{bc}=\overline{ab}\times\overline{ac}\times7\)

\(\Rightarrow\overline{ab}\left(7\times\overline{ac}-100\right)=\overline{bc}\)

\(\Rightarrow7\times\overline{ac}-100=\overline{}\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\)

Vì \(0<\overline{}\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}<10\) nên\(0<7\times\overline{ac}-100<10\)

Suy ra\(100<7\times\overline{ac}<110\)

hay\(14<\overline{ac}<16\)

Suy ra \(\overline{ac}=15\)

Suy ra a=1;c=5

Thay vào ta được :

\(\overline{1bb5}=\overline{1b}\times15\times7\)

\(1000+110b+5=15\left(10+b\right)\times7\)

\(\Rightarrow5b=45\Rightarrow b=9\)

Vậy a=1;b=9;c=5.

A = \(\frac{1}{1.2}\) + \(\frac{1}{2.3}\) + ... + \(\frac{1}{n.\left(n-1\right)}\)

A = \(\frac11\) - \(\frac12\) + \(\frac12\) - \(\frac13\) + ... + \(\frac{1}{n-1}\) - \(\frac{1}{n}\)

A = 1 - \(\frac{1}{n}\)

A = \(\frac{n-1}{n}\)

A= 1 - 1/n

\(-\dfrac{5}{6}\le\dfrac{x}{9}\le-\dfrac{1}{9}\\ -\dfrac{15}{18}\le\dfrac{2x}{18}\le-\dfrac{2}{18}\\=>-15\le2x\le-2\\ =>-\dfrac{15}{2}\le x \le-1\\ =>-7,5\le x\le-1\\ =>x\in\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\right\}\)

- \(\frac56\) ≤ \(\frac{x}{9}\) ≤ - \(\frac19\) (\(x\in\) Z)

\(\frac{-15}{18}\) ≤ \(\frac{2x}{18}\) ≤ \(\frac{-2}{18}\)

- 15 ≤ 2\(x\) ≤ - 2

- \(\frac{15}{2}\) ≤ \(x\) ≤ \(\frac{-2}{2}\)

- 7\(\frac12\) ≤ \(x\) ≤ - 1

Vì \(x\in\) Z nên

\(x\) \(\in\) {-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1}

Vậy \(x\in\left\lbrace-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\right\rbrace\)

\(-\dfrac{5}{6}\le\dfrac{x}{4}\le-\dfrac{1}{9}\\ -\dfrac{30}{36}\le\dfrac{9x}{36}\le-\dfrac{4}{36}\\ =>-30\le9x\le-4\\ =>-\dfrac{30}{9}\le x\le-\dfrac{4}{9}\\ =>-3\le x\le0\\ =>x\in\left\{-3;-2;-1;0\right\}\)

Câu b:

(n + 25) ⋮ (n + 5) (n ≠ - 5)

[(n + 5) + 20] ⋮ (n + 5)

20 ⋮ (n + 5)

(n +5) ∈ Ư(20)

20 = 2\(^2\).5 suy ra

(n + 5) \(\in\) Ư(20) = {-20; - 10; - 5; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 5; 10; 20}

Lập bảng giá trị ta có:

Theo bảng trên ta có:

n ∈ {-25; -15; -10; -9; -7; -6; -4; -3; -1; 0; 5; 15}

Câu a:

(14 + 6n) ⋮ n

14 ⋮ n

n ∈ Ư(14)

14 =2.7 suy ra: n ∈ Ư(14) = {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 7; 14}

Vậy n ∈ {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 7; 14}

Ta có: `3/16 = 6/32`

`=> 5/32` số thứ nhất bằng `6/32` số thứ 2

Tỉ lệ số thứ nhất với số thứ hai là: 

`6/32 : 5/32 = 6/5 `

Số lớn là: 

`16 : (6-5) xx6 = 96`

Số bé là: 

`96 : 6 xx5 = 80`

1. Giải phương trình đầu tiên:

1. Thay $y$ vào phương trình thứ hai:

1. Tìm $y$ từ giá trị $x$ vừa tìm được:

Vậy hai số cần tìm là 96 và 80.

Đây là toán nâng cao chuyên đề số nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Vì tích của 34 số nguyên là 1 nên 34 số nguyên đó chỉ có thể gồm các số là 1, - 1.

Giả sử tổng của 34 số nguyên bằng 0. Khi đó, 34 số nguyên đó phải gồm các số là 1 và -1. Đồng thời số số nguyên là 1 bằng số số nguyên là -1.

Từ các lập luận trên ta có:

Trong 34 số nguyên cho trước số số nguyên bằng -1 là:

34 : 2 = 17

Khi đó, 34 số nguyên đã cho sẽ có 17 số là số nguyên âm. Mà tích của 17 số nguyên âm là một số âm, dẫn đến tích của 34 số nguyên đó là số âm. Vô lý vì tích của 34 số nguyên cho trước là 1. Vậy điều giả sử là sai.

Kết luận: tích của 34 số nguyên cho trước là 1 thì tổng của chúng không thể bằng 0 (điều phải chứng minh)

Bạn xem lại đề nhé, vì nếu lấy 17 số 1 và 17 số -1 thì \(1\cdot\left(-1\right)\cdot1\cdot\left(-1\right)\cdot\ldots\cdot1\cdot\left(-1\right)=1\) mà \(1+\left(-1\right)+1+\left(-1\right)+\cdots+1+\left(-1\right)=0\)

a: \(A=1\dfrac{1}{2}\cdot1\dfrac{1}{3}\cdot...\cdot1\dfrac{1}{15}\)

\(=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{16}{15}\)

\(=\dfrac{16}{2}=8\)

b: \(B=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{1000}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{999}{1000}\)

\(=\dfrac{1}{1000}\)

c: \(C=\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{4}{3}\right):\dfrac{5}{4}:\left(-\dfrac{6}{5}\right):\dfrac{7}{6}:\left(-\dfrac{8}{7}\right):...:\dfrac{99}{98}:\left(-\dfrac{100}{99}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot...\cdot\dfrac{98}{99}\cdot\dfrac{99}{100}\)

\(=-\dfrac{1}{100}\)

d: \(\dfrac{\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{27}-\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{11}}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{3}{9}-\dfrac{3}{11}}=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)}{3\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)}=\dfrac{2}{3}\)

e: \(D=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2022}\cdot\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2023}=\dfrac{2021}{4046}\)

Sửa lại đề bài:

\(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{3}{10}\)

\(\frac13-\frac14+\frac14-\frac15+\frac15-\frac16+\frac16-\frac17+\cdots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{10}\)

\(\frac13-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{10}\)

\(\frac{1}{x+1}=\frac13-\frac{3}{10}\)

\(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{30}\)

\(x+1=30\)

\(x=29\)